Страница 84 номер 261, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Из отрезка \([2; 5]\) случайным образом выбирается отрезок \([a; b]\) длины 1. Найдите вероятность события: а) \(a < 3\); б) \(b < 4\); в) «середина отрезка \([a; b]\) заключена между числами 3 и 4»; г) «середина отрезка \([a; b]\) заключена между числами 2,5 и 4,5».
Отрезок \([a; b]\) длины 1 содержится в отрезке \([2; 5]\), поэтому \(b = a + 1\), \(a \geqslant 2\) и \(a + 1 \leqslant 5\), то есть \(2 \leqslant a \leqslant 4\). Выбрать такой отрезок случайным образом — значит случайным образом выбрать его левый конец из отрезка \([2; 4]\) длиной \(4 - 2 = 2\), поэтому вероятность того, что левый конец попадёт в отрезок, содержащийся в отрезке \([2; 4]\), равна отношению длины этого отрезка к 2. Строгий знак неравенства вероятности не меняет, так как вероятность выбрать конкретную точку равна нулю.
а) \({P(a < 3)} = {P(2 \leqslant a \leqslant 3)} = \frac{3 - 2}{4 - 2} = \frac{1}{2} = 0{,}5\).
б) Так как \(b = a + 1\), неравенство \(b < 4\) равносильно неравенству \(a + 1 < 4\), то есть \(a < 3\). Значит, \({P(b < 4)} = {P(2 \leqslant a \leqslant 3)} = \frac{3 - 2}{4 - 2} = 0{,}5\).
в) Середина отрезка \([a; b]\) — число \(\frac{a + b}{2}\); так как \(b = a + 1\), оно равно \(\frac{a + (a + 1)}{2} = a + 0{,}5\). \[\begin{aligned} 3 &< a + 0{,}5 < 4; \qquad | -0{,}5 \\ 2{,}5 &< a < 3{,}5. \end{aligned}\] Значит, вероятность события равна \(\frac{3{,}5 - 2{,}5}{4 - 2} = \frac{1}{2} = 0{,}5\).
г) Середина отрезка равна \(a + 0{,}5\). \[\begin{aligned} 2{,}5 &< a + 0{,}5 < 4{,}5; \qquad | -0{,}5 \\ 2 &< a < 4. \end{aligned}\] Эти неравенства не выполняются только на концах отрезка \([2; 4]\), при \(a = 2\) и при \(a = 4\), а вероятность выбрать конкретную точку равна нулю. Значит, вероятность события равна \(\frac{4 - 2}{4 - 2} = 1\).
Ответ: а) 0,5; б) 0,5; в) 0,5; г) 1.
Из отрезка \([2; 5]\) случайным образом выбирается отрезок \([a; b]\) длины 1. Найдите вероятность события: а) \(a < 3\); б) \(b < 4\); в) «середина отрезка \([a; b]\) заключена между числами 3 и 4»; г) «середина отрезка \([a; b]\) заключена между числами 2,5 и 4,5».
Отрезок \([a; b]\) длины 1 содержится в отрезке \([2; 5]\), поэтому \(b = a + 1\), \(a \geqslant 2\) и \(a + 1 \leqslant 5\), то есть \(2 \leqslant a \leqslant 4\). Выбрать такой отрезок случайным образом — значит случайным образом выбрать его левый конец: число из отрезка \([2; 4]\) длиной \(4 - 2 = 2\), все точки которого имеют равные шансы. Поэтому вероятность того, что левый конец попадёт в отрезок, содержащийся в отрезке \([2; 4]\), равна отношению длины этого отрезка к 2. Строгий знак неравенства вероятности не меняет, так как вероятность выбрать конкретную точку равна нулю.
а) \({P(a < 3)} = {P(2 \leqslant a \leqslant 3)} = \frac{3 - 2}{4 - 2} = \frac{1}{2} = 0{,}5\).
б) Так как \(b = a + 1\), неравенство \(b < 4\) равносильно неравенству \(a + 1 < 4\), то есть \(a < 3\). Значит, \({P(b < 4)} = {P(2 \leqslant a \leqslant 3)} = \frac{3 - 2}{4 - 2} = 0{,}5\).
в) Середина отрезка \([a; b]\) — число \(\frac{a + b}{2}\); так как \(b = a + 1\), оно равно \(\frac{a + (a + 1)}{2} = a + 0{,}5\). Решим двойное неравенство: \[\begin{aligned} 3 &< a + 0{,}5 < 4; \qquad | -0{,}5 \\ 2{,}5 &< a < 3{,}5. \end{aligned}\] Значит, вероятность события равна \(\frac{3{,}5 - 2{,}5}{4 - 2} = \frac{1}{2} = 0{,}5\).
г) Середина отрезка равна \(a + 0{,}5\). Решим двойное неравенство: \[\begin{aligned} 2{,}5 &< a + 0{,}5 < 4{,}5; \qquad | -0{,}5 \\ 2 &< a < 4. \end{aligned}\] Эти неравенства не выполняются только на концах отрезка \([2; 4]\), при \(a = 2\) и при \(a = 4\), а вероятность выбрать конкретную точку равна нулю. Значит, вероятность события равна \(\frac{4 - 2}{4 - 2} = 1\).
Ответ: а) 0,5; б) 0,5; в) 0,5; г) 1.
