Страница 73 номер 229, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Докажите равенство \(C_{n - k - 1}^{0} + C_{n - k}^{1} + C_{n - k + 1}^{2} + \ldots + C_{n - 2}^{k - 1} + C_{n - 1}^{k} = C_{n}^{k}\).
Здесь \(k\) и \(n\) — натуральные числа и \(k \leqslant n - 1\): иначе нижний индекс \(n - k - 1\) первого слагаемого отрицателен. У каждого слагаемого левой части нижний индекс больше верхнего на одно и то же число \(n - k - 1\).
Первое слагаемое \(C_{n - k - 1}^{0}\) равно 1, как и \(C_{n - k}^{0}\). Заменим его числом \(C_{n - k}^{0}\) и будем складывать слагаемые по порядку. На каждом шаге складываются два соседних числа одной строки треугольника Паскаля: уже полученная сумма \(C_{m}^{j - 1}\) и следующее слагаемое \(C_{m}^{j}\). По основному рекуррентному свойству \(C_{m}^{j - 1} + C_{m}^{j} = C_{m + 1}^{j}\). Свойство применимо, потому что число \(C_{m + 1}^{j}\) не крайнее в своей строке: \(j \geqslant 1\) и \(j \leqslant m\), ведь \(m - j = n - k - 1 \geqslant 0\). Новая сумма \(C_{m + 1}^{j}\) и следующее слагаемое \(C_{m + 1}^{j + 1}\) — снова соседние числа одной строки. Получаем: \[\begin{aligned} &C_{n - k - 1}^{0} + C_{n - k}^{1} + C_{n - k + 1}^{2} + \ldots + C_{n - 1}^{k} = {} \\ &= \left(C_{n - k}^{0} + C_{n - k}^{1}\right) + C_{n - k + 1}^{2} + \ldots + C_{n - 1}^{k} = {} \\ &= \left(C_{n - k + 1}^{1} + C_{n - k + 1}^{2}\right) + \ldots + C_{n - 1}^{k} = \ldots = {} \\ &= C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^{k} = C_{n}^{k}. \end{aligned}\]
Ответ: при натуральных \(k \leqslant n - 1\) сумма \(C_{n - k - 1}^{0} + C_{n - k}^{1} + C_{n - k + 1}^{2} + \ldots + C_{n - 1}^{k}\) равна \(C_{n}^{k}\).
Докажите равенство \(C_{n - k - 1}^{0} + C_{n - k}^{1} + C_{n - k + 1}^{2} + \ldots + C_{n - 2}^{k - 1} + C_{n - 1}^{k} = C_{n}^{k}\).
Здесь \(k\) и \(n\) — натуральные числа и \(k \leqslant n - 1\): иначе нижний индекс \(n - k - 1\) первого слагаемого отрицателен. У каждого слагаемого левой части нижний индекс больше верхнего на одно и то же число \(n - k - 1\).
Первое слагаемое \(C_{n - k - 1}^{0}\) равно 1, как и \(C_{n - k}^{0}\): выбрать 0 предметов можно единственным способом. Заменим его числом \(C_{n - k}^{0}\) и будем складывать слагаемые по порядку. На каждом шаге складываются два соседних числа одной строки треугольника Паскаля: уже полученная сумма \(C_{m}^{j - 1}\) и следующее слагаемое \(C_{m}^{j}\). По основному рекуррентному свойству \(C_{m}^{j - 1} + C_{m}^{j} = C_{m + 1}^{j}\) — это число, стоящее под ними. Свойство применимо, потому что число \(C_{m + 1}^{j}\) не крайнее в своей строке: \(j \geqslant 1\) и \(j \leqslant m\), ведь \(m - j = n - k - 1 \geqslant 0\). Новая сумма \(C_{m + 1}^{j}\) и следующее слагаемое \(C_{m + 1}^{j + 1}\) — снова соседние числа одной строки. Получаем: \[\begin{aligned} &C_{n - k - 1}^{0} + C_{n - k}^{1} + C_{n - k + 1}^{2} + \ldots + C_{n - 1}^{k} = {} \\ &= \left(C_{n - k}^{0} + C_{n - k}^{1}\right) + C_{n - k + 1}^{2} + \ldots + C_{n - 1}^{k} = {} \\ &= \left(C_{n - k + 1}^{1} + C_{n - k + 1}^{2}\right) + \ldots + C_{n - 1}^{k} = \ldots = {} \\ &= C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^{k} = C_{n}^{k}. \end{aligned}\]
Ответ: при натуральных \(k \leqslant n - 1\) сумма \(C_{n - k - 1}^{0} + C_{n - k}^{1} + C_{n - k + 1}^{2} + \ldots + C_{n - 1}^{k}\) равна \(C_{n}^{k}\).
