Страница 81 номер 247, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Буратино посадил в центре квадратного листа бумаги со стороной 22 см круглую кляксу радиусом 1 см. Сразу после этого Буратино посадил ещё одну такую же кляксу, которая также целиком оказалась на листе. Найдите вероятность того, что эти две кляксы не соприкасаются.
Вторая клякса целиком лежит на листе, поэтому её центр удалён от каждого края листа не меньше чем на 1 см: он лежит в квадрате \(F\) со стороной \(22 - 2 \cdot 1 = 20\) (см), центр которого совпадает с центром листа.
\(S_{F} = 20^{2} = 400\ (\text{см}^{2})\).
Кляксы соприкасаются (имеют общие точки), когда расстояние между их центрами не больше \(1 + 1 = 2\) (см), то есть когда центр второй кляксы лежит в круге радиусом 2 см с центром в центре листа. Этот круг целиком лежит в квадрате \(F\), его площадь \(\pi \cdot 2^{2} = 4\pi\ (\text{см}^{2})\).
Событие \(G\) «кляксы не соприкасаются» — квадрат \(F\) без этого круга: \(S_{G} = 400 - 4\pi\ (\text{см}^{2})\).
Будем считать, что центр второй кляксы может с равными шансами оказаться в любой точке квадрата \(F\). Тогда
\[P(G) = \frac{S_{G}}{S_{F}} = \frac{400 - 4\pi}{400} = 1 - \frac{\pi}{100} \approx 0{,}969.\]
Ответ: \(1 - \frac{\pi}{100} \approx 0{,}969\).
Буратино посадил в центре квадратного листа бумаги со стороной 22 см круглую кляксу радиусом 1 см. Сразу после этого Буратино посадил ещё одну такую же кляксу, которая также целиком оказалась на листе. Найдите вероятность того, что эти две кляксы не соприкасаются.
Первая клякса — круг радиусом 1 см с центром в центре листа. Вторая клякса — такой же круг, и он целиком лежит на листе, поэтому её центр удалён от каждого края листа не меньше чем на 1 см. Значит, центр второй кляксы лежит в квадрате \(F\) со стороной \(22 - 2 \cdot 1 = 20\) (см), центр которого совпадает с центром листа: \(S_{F} = 20^{2} = 400\ (\text{см}^{2})\).
Кляксы соприкасаются (имеют общие точки), когда расстояние между их центрами не больше \(1 + 1 = 2\) (см), то есть когда центр второй кляксы лежит в круге радиусом 2 см с центром в центре листа. Этот круг целиком лежит в квадрате \(F\), его площадь равна \(\pi \cdot 2^{2} = 4\pi\ (\text{см}^{2})\). Событие \(G\) «кляксы не соприкасаются» — квадрат \(F\) без этого круга: \(S_{G} = 400 - 4\pi\ (\text{см}^{2})\).
Будем считать, что центр второй кляксы может с равными шансами оказаться в любой точке квадрата \(F\). Тогда по правилу вычисления геометрической вероятности
\[P(G) = \frac{S_{G}}{S_{F}} = \frac{400 - 4\pi}{400} = 1 - \frac{\pi}{100} \approx 0{,}969.\]
Ответ: \(1 - \frac{\pi}{100} \approx 0{,}969\).
