Страница 80 номер 244, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
В квадрате \(ABCD\) случайным образом выбирается точка \(X\). Найдите вероятность того, что эта точка принадлежит трапеции \(AMCD\), где точка \(M\): а) середина стороны \(BC\); б) делит отрезок \(BC\) в отношении \(1 : 2\), считая от точки \(C\); в) делит отрезок \(BC\) в отношении \(m : n\), считая от точки \(B\).
Пусть сторона квадрата равна \(a\). Фигура \(F\), из которой выбирают точку, — квадрат \(ABCD\), \(S_{F} = a^{2}\); событие — трапеция \(AMCD\). Её основания \(MC\) и \(AD\) лежат на противоположных сторонах квадрата, высота равна стороне квадрата: \(S_{AMCD} = \frac{1}{2} \cdot (MC + AD) \cdot a\). Точка \(X\) выбирается случайным образом: все точки квадрата имеют равные шансы, поэтому \(P(AMCD) = \frac{S_{AMCD}}{S_{F}}\).
а) \(MC = \frac{1}{2}a\), поэтому \(S_{AMCD} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2}a + a\right) \cdot a = \frac{3a^{2}}{4}\).
\[P(AMCD) = \frac{S_{AMCD}}{S_{F}} = \frac{3a^{2}}{4a^{2}} = \frac{3}{4}.\]
б) \(CM : MB = 1 : 2\), значит, \(MC = \frac{1}{3}a\) и \(S_{AMCD} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{3}a + a\right) \cdot a = \frac{2a^{2}}{3}\).
\[P(AMCD) = \frac{S_{AMCD}}{S_{F}} = \frac{2a^{2}}{3a^{2}} = \frac{2}{3}.\]
в) Здесь отношение считается от точки \(B\): \(BM : MC = m : n\), то есть \(BM = mt\) и \(MC = nt\) при некотором \(t > 0\). Так как \(BM + MC = BC = a\), то \((m + n)t = a\), откуда \(MC = nt = \frac{n}{m + n}a\).
\[\begin{aligned} S_{AMCD} &= \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{n}{m + n}a + a\right) \cdot a = \frac{(m + 2n)a^{2}}{2(m + n)}; \\ P(AMCD) &= \frac{S_{AMCD}}{S_{F}} = \frac{(m + 2n)a^{2}}{2(m + n)a^{2}} = \frac{m + 2n}{2m + 2n}. \end{aligned}\]
При \(m = n = 1\) эта формула даёт \(\frac{3}{4}\), а при \(m = 2\), \(n = 1\) (точка \(M\) делит \(BC\) в отношении \(1 : 2\), считая от точки \(C\)) — \(\frac{2}{3}\), как в пунктах а) и б).
Ответ: а) \(\frac{3}{4}\); б) \(\frac{2}{3}\); в) \(\frac{m + 2n}{2m + 2n}\).
В квадрате \(ABCD\) случайным образом выбирается точка \(X\). Найдите вероятность того, что эта точка принадлежит трапеции \(AMCD\), где точка \(M\): а) середина стороны \(BC\); б) делит отрезок \(BC\) в отношении \(1 : 2\), считая от точки \(C\); в) делит отрезок \(BC\) в отношении \(m : n\), считая от точки \(B\).
Пусть сторона квадрата равна \(a\). Фигура \(F\), из которой выбирают точку, — квадрат \(ABCD\), \(S_{F} = a^{2}\). Точка \(M\) лежит на стороне \(BC\), поэтому основания \(MC\) и \(AD\) трапеции \(AMCD\) лежат на противоположных сторонах квадрата, а её высота равна стороне квадрата: \(S_{AMCD} = \frac{1}{2} \cdot (MC + AD) \cdot a\). Точка \(X\) выбирается случайным образом: все точки квадрата имеют равные шансы, поэтому вероятность события \(AMCD\) «точка \(X\) принадлежит трапеции \(AMCD\)» равна \(P(AMCD) = \frac{S_{AMCD}}{S_{F}}\).
а) Точка \(M\) — середина стороны \(BC\), поэтому \(MC = \frac{1}{2}a\), \(S_{AMCD} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2}a + a\right) \cdot a = \frac{3a^{2}}{4}\) и
\[P(AMCD) = \frac{S_{AMCD}}{S_{F}} = \frac{3a^{2}}{4a^{2}} = \frac{3}{4}.\]
б) Точка \(M\) делит отрезок \(BC\) в отношении \(1 : 2\), считая от точки \(C\): \(CM : MB = 1 : 2\). Значит, \(MC = \frac{1}{3}a\), \(S_{AMCD} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{3}a + a\right) \cdot a = \frac{2a^{2}}{3}\) и
\[P(AMCD) = \frac{S_{AMCD}}{S_{F}} = \frac{2a^{2}}{3a^{2}} = \frac{2}{3}.\]
в) Здесь отношение считается от точки \(B\): \(BM : MC = m : n\), то есть \(BM = mt\) и \(MC = nt\) при некотором \(t > 0\). Так как \(BM + MC = BC = a\), то \((m + n)t = a\), откуда \(MC = nt = \frac{n}{m + n}a\). Тогда
\[\begin{aligned} S_{AMCD} &= \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{n}{m + n}a + a\right) \cdot a = \frac{(m + 2n)a^{2}}{2(m + n)}; \\ P(AMCD) &= \frac{S_{AMCD}}{S_{F}} = \frac{(m + 2n)a^{2}}{2(m + n)a^{2}} = \frac{m + 2n}{2m + 2n}. \end{aligned}\]
При \(m = n = 1\) эта формула даёт \(\frac{3}{4}\), а при \(m = 2\), \(n = 1\) (точка \(M\) делит \(BC\) в отношении \(1 : 2\), считая от точки \(C\)) — \(\frac{2}{3}\), как в пунктах а) и б).
Ответ: а) \(\frac{3}{4}\); б) \(\frac{2}{3}\); в) \(\frac{m + 2n}{2m + 2n}\).
