Страница 83 номер 249, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Отрезок \(AB\) разбит точками \(C\) и \(D\) на три равные части \(AC\), \(CD\) и \(DB\). Из отрезка \(AB\) выбирают случайную точку \(X\). Найдите вероятность того, что точка \(X\): а) принадлежит отрезку \(CD\); б) не принадлежит отрезку \(CD\).
Точка \(X\) выбирается из отрезка \(AB\) случайным образом, поэтому вероятность попасть на отрезок, который содержится в отрезке \(AB\), равна отношению его длины к длине \(AB\). Пусть \(AC = CD = DB = a\), тогда \(AB = 3a\).
а) \(P(CD) = \frac{CD}{AB} = \frac{a}{3a} = \frac{1}{3}\) — вероятность события \(CD\) «точка \(X\) принадлежит отрезку \(CD\)».
б) Точка \(X\) не принадлежит отрезку \(CD\), если она лежит на отрезке \(AC\) или на отрезке \(DB\) и не совпадает с точками \(C\) и \(D\). Вероятность выбрать конкретную точку равна нулю, поэтому концы отрезков на вероятность не влияют. Общая длина отрезков \(AC\) и \(DB\) равна \(a + a = 2a\), поэтому вероятность события равна \(\frac{2a}{3a} = \frac{2}{3}\).
Ответ: а) \(\frac{1}{3}\); б) \(\frac{2}{3}\).
Отрезок \(AB\) разбит точками \(C\) и \(D\) на три равные части \(AC\), \(CD\) и \(DB\). Из отрезка \(AB\) выбирают случайную точку \(X\). Найдите вероятность того, что точка \(X\): а) принадлежит отрезку \(CD\); б) не принадлежит отрезку \(CD\).
Точка \(X\) выбирается из отрезка \(AB\) случайным образом: все точки отрезка имеют равные шансы. Поэтому вероятность того, что точка \(X\) принадлежит отрезку, который содержится в отрезке \(AB\), равна отношению длины этого отрезка к длине отрезка \(AB\). Пусть \(AC = CD = DB = a\), тогда \(AB = 3a\).
а) Вероятность события \(CD\) «точка \(X\) принадлежит отрезку \(CD\)» равна \[P(CD) = \frac{CD}{AB} = \frac{a}{3a} = \frac{1}{3}.\]
б) Точка \(X\) не принадлежит отрезку \(CD\), если она лежит на отрезке \(AC\) или на отрезке \(DB\) и не совпадает с точками \(C\) и \(D\). Вероятность выбрать конкретную точку равна нулю, поэтому концы отрезков на вероятность не влияют. Общая длина этих отрезков равна \(a + a = 2a\), поэтому вероятность события равна \(\frac{2a}{3a} = \frac{2}{3}\). Это событие противоположно событию \(CD\), и вычитание даёт тот же результат: \(1 - P(CD) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\).
Ответ: а) \(\frac{1}{3}\); б) \(\frac{2}{3}\).
