Страница 70 номер 212, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Одно время была популярна лотерея «Честная игра». В билете лотереи имеется 20 закрытых букв, ровно 10 из них — буквы слова «АВТОМОБИЛЬ». Буквы разбросаны случайным образом. По правилам лотереи, если владелец билета, открыв ровно 10 букв, откроет все буквы слова «АВТОМОБИЛЬ», то он выигрывает машину. а) Сколько всего существует способов открыть 10 букв? б) Сколько существует способов открыть 10 букв так, чтобы выиграть автомобиль? в) Какова вероятность выиграть автомобиль?
а) Открыть 10 букв — значит выбрать 10 мест из 20; важно только, какие буквы открыты, а не порядок, в котором их открывали. Поэтому число способов равно \[\begin{aligned} &C_{20}^{10} = \frac{20!}{10! \cdot 10!} = {} \\ &= \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10} = 184\,756. \end{aligned}\]
б) Ровно 10 букв билета — буквы слова «АВТОМОБИЛЬ», поэтому все буквы слова, в том числе обе буквы О, окажутся открытыми, только если открыты именно те 10 мест, где они стоят. Такой набор мест один, значит, выиграть автомобиль можно единственным способом.
в) Буквы разбросаны случайным образом, поэтому буквы слова с равными шансами могут оказаться под любым из \(184\,756\) наборов из 10 мест; это равновозможные элементарные события. Событию \(A\) «владелец билета выиграл автомобиль» благоприятствует один из них — набор, совпадающий с открытыми местами: \(N = 184\,756\), \(N(A) = 1\), следовательно, \[P(A) = \frac{N(A)}{N} = \frac{1}{184\,756} \approx 5{,}4 \cdot 10^{-6}.\]
Ответ: а) \(184\,756\) способов; б) 1 способ; в) \(\frac{1}{184\,756} \approx 5{,}4 \cdot 10^{-6}\).
