Страница 69 номер 209, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Муха ползёт по проволочной решётке из точки \(A\) в точку \(B\) (рис. 73), двигаясь всё время вправо или вниз. Сколько различных маршрутов может выбрать муха? Указание. В случае а), как бы ни ползла муха, она должна сделать всего 6 шагов: три шага вправо (П) и три шага вниз (Н). Маршрут мухи можно записать в виде последовательности шести букв. Например, ПНПННП. Таким образом, вопрос сводится к тому, сколько существует способов расставить три буквы П в последовательности шести букв.
а) Как бы ни ползла муха, она делает 6 шагов: три шага вправо (П) и три шага вниз (Н). Поэтому маршрут записывается последовательностью шести букв, в которой три буквы П и три буквы Н; разные маршруты дают разные последовательности, и любая такая последовательность задаёт маршрут из точки \(A\) в точку \(B\). Последовательность определяется тем, на каких трёх местах из шести стоят буквы П: \[C_{6}^{3} = \frac{6!}{3! \cdot 3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 20.\]
б) На рисунке решётка шириной 4 клетки и высотой 5 клеток, поэтому муха делает 9 шагов: 4 шага вправо и 5 шагов вниз. Маршрут записывается последовательностью девяти букв, в которой 4 буквы П и 5 букв Н, и определяется тем, на каких четырёх местах из девяти стоят буквы П: \[C_{9}^{4} = \frac{9!}{4! \cdot 5!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} = 126.\]
Ответ: а) 20 маршрутов; б) 126 маршрутов.
Муха ползёт по проволочной решётке из точки \(A\) в точку \(B\) (рис. 73), двигаясь всё время вправо или вниз. Сколько различных маршрутов может выбрать муха? Указание. В случае а), как бы ни ползла муха, она должна сделать всего 6 шагов: три шага вправо (П) и три шага вниз (Н). Маршрут мухи можно записать в виде последовательности шести букв. Например, ПНПННП. Таким образом, вопрос сводится к тому, сколько существует способов расставить три буквы П в последовательности шести букв.
а) Как бы ни ползла муха, она делает 6 шагов: три шага вправо (П) и три шага вниз (Н). Поэтому маршрут записывается последовательностью шести букв, в которой три буквы П и три буквы Н, например ПНПННП; разные маршруты дают разные последовательности, и любая такая последовательность задаёт маршрут из точки \(A\) в точку \(B\). Последовательность определяется тем, на каких трёх местах из шести стоят буквы П, поэтому маршрутов столько, сколько способов выбрать 3 места из 6: \[C_{6}^{3} = \frac{6!}{3! \cdot 3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 20.\]
б) На рисунке решётка шириной 4 клетки и высотой 5 клеток, поэтому муха делает 9 шагов: 4 шага вправо и 5 шагов вниз. Маршрут записывается последовательностью девяти букв, в которой 4 буквы П и 5 букв Н, и определяется тем, на каких четырёх местах из девяти стоят буквы П: \[C_{9}^{4} = \frac{9!}{4! \cdot 5!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} = 126.\]
Ответ: а) 20 маршрутов; б) 126 маршрутов.
