Страница 70 номер 210, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Сколько существует последовательностей, в которых 4 буквы У, а остальные буквы Н, если всего в последовательностях: а) 11 букв; б) 12 букв; в) 15 букв; г) 20 букв?
Последовательность определяется тем, на каких местах стоят 4 буквы У: на остальных местах стоят буквы Н. Разные наборы мест дают разные последовательности, а порядок выбора мест не важен. Поэтому последовательностей столько, сколько способов выбрать 4 места из всех мест последовательности.
а) \[C_{11}^{4} = \frac{11!}{4! \cdot 7!} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} = 330.\]
б) \[C_{12}^{4} = \frac{12!}{4! \cdot 8!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} = 495.\]
в) \[C_{15}^{4} = \frac{15!}{4! \cdot 11!} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} = 1365.\]
г) \[C_{20}^{4} = \frac{20!}{4! \cdot 16!} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} = 4845.\]
Ответ: а) 330 последовательностей; б) 495 последовательностей; в) 1365 последовательностей; г) 4845 последовательностей.
Сколько существует последовательностей, в которых 4 буквы У, а остальные буквы Н, если всего в последовательностях: а) 11 букв; б) 12 букв; в) 15 букв; г) 20 букв?
Последовательность определяется тем, на каких местах стоят 4 буквы У: на остальных местах стоят буквы Н. Разные наборы мест дают разные последовательности, а порядок выбора мест не важен. Поэтому последовательностей столько, сколько способов выбрать 4 места из всех мест последовательности, — это число сочетаний из числа букв по 4.
а) \[C_{11}^{4} = \frac{11!}{4! \cdot 7!} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} = 330.\]
б) \[C_{12}^{4} = \frac{12!}{4! \cdot 8!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} = 495.\]
в) \[C_{15}^{4} = \frac{15!}{4! \cdot 11!} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} = 1365.\]
г) \[C_{20}^{4} = \frac{20!}{4! \cdot 16!} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} = 4845.\]
Ответ: а) 330 последовательностей; б) 495 последовательностей; в) 1365 последовательностей; г) 4845 последовательностей.
