Страница 69 номер 200, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Сравните числа: а) \(C_{5}^{2}\) и \(C_{5}^{3}\); б) \(C_{7}^{2}\) и \(C_{7}^{5}\); в) \(C_{21}^{1}\) и \(C_{21}^{20}\); г) \(C_{12}^{5}\) и \(C_{12}^{7}\).
а) \[\begin{aligned} C_{5}^{2} &= \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{5 \cdot 4}{1 \cdot 2} = 10; \\ C_{5}^{3} &= \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{5 \cdot 4}{1 \cdot 2} = 10. \end{aligned}\] Значит, \(C_{5}^{2} = C_{5}^{3}\).
б) \[\begin{aligned} C_{7}^{2} &= \frac{7!}{2! \cdot 5!} = \frac{7 \cdot 6}{1 \cdot 2} = 21; \\ C_{7}^{5} &= \frac{7!}{5! \cdot 2!} = \frac{7 \cdot 6}{1 \cdot 2} = 21. \end{aligned}\] Значит, \(C_{7}^{2} = C_{7}^{5}\).
в) \[\begin{aligned} C_{21}^{1} &= \frac{21!}{1! \cdot 20!} = 21; \\ C_{21}^{20} &= \frac{21!}{20! \cdot 1!} = 21. \end{aligned}\] Значит, \(C_{21}^{1} = C_{21}^{20}\).
г) \[\begin{aligned} C_{12}^{5} &= \frac{12!}{5! \cdot 7!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} = 792; \\ C_{12}^{7} &= \frac{12!}{7! \cdot 5!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} = 792. \end{aligned}\] Значит, \(C_{12}^{5} = C_{12}^{7}\).
Ответ: в каждой паре числа равны: а) \(C_{5}^{2} = C_{5}^{3} = 10\); б) \(C_{7}^{2} = C_{7}^{5} = 21\); в) \(C_{21}^{1} = C_{21}^{20} = 21\); г) \(C_{12}^{5} = C_{12}^{7} = 792\).
Сравните числа: а) \(C_{5}^{2}\) и \(C_{5}^{3}\); б) \(C_{7}^{2}\) и \(C_{7}^{5}\); в) \(C_{21}^{1}\) и \(C_{21}^{20}\); г) \(C_{12}^{5}\) и \(C_{12}^{7}\).
Найдём числа каждой пары по формуле \(C_{n}^{k} = \frac{n!}{k!(n - k)!}\).
а) \[\begin{aligned} C_{5}^{2} &= \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{5 \cdot 4}{1 \cdot 2} = 10; \\ C_{5}^{3} &= \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{5 \cdot 4}{1 \cdot 2} = 10. \end{aligned}\] Формула дала для обоих чисел одну и ту же дробь: в знаменателе те же множители \(2!\) и \(3!\), только в другом порядке. Значит, \(C_{5}^{2} = C_{5}^{3}\).
б) \[\begin{aligned} C_{7}^{2} &= \frac{7!}{2! \cdot 5!} = \frac{7 \cdot 6}{1 \cdot 2} = 21; \\ C_{7}^{5} &= \frac{7!}{5! \cdot 2!} = \frac{7 \cdot 6}{1 \cdot 2} = 21. \end{aligned}\] Значит, \(C_{7}^{2} = C_{7}^{5}\).
в) \[\begin{aligned} C_{21}^{1} &= \frac{21!}{1! \cdot 20!} = 21; \\ C_{21}^{20} &= \frac{21!}{20! \cdot 1!} = 21. \end{aligned}\] Значит, \(C_{21}^{1} = C_{21}^{20}\).
г) \[\begin{aligned} C_{12}^{5} &= \frac{12!}{5! \cdot 7!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} = 792; \\ C_{12}^{7} &= \frac{12!}{7! \cdot 5!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} = 792. \end{aligned}\] Значит, \(C_{12}^{5} = C_{12}^{7}\).
Ответ: в каждой паре числа равны: а) \(C_{5}^{2} = C_{5}^{3} = 10\); б) \(C_{7}^{2} = C_{7}^{5} = 21\); в) \(C_{21}^{1} = C_{21}^{20} = 21\); г) \(C_{12}^{5} = C_{12}^{7} = 792\).
