Вопросы после параграфа §74 на странице 65, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Высоцкого часть 2

Перестановкой \(n\) предметов называется любой способ нумерации этих предметов, то есть способ расположить их в последовательность. Например, буквы А, Б и В можно расположить в последовательность шестью способами: АБВ, АВБ, БАВ, БВА, ВАБ, ВБА — это шесть перестановок трёх букв.

Ответ: перестановка \(n\) предметов — любой способ нумерации этих предметов, то есть способ расположить их в последовательность.

Факториалом натурального числа \(n\) называется произведение всех натуральных чисел от 1 до \(n\). Обозначается факториал \(n!\):

\[n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (n - 1) \cdot n.\]

Например, \(4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24\).

Ответ: факториал натурального числа \(n\) — произведение всех натуральных чисел от 1 до \(n\): \(n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n\).

На первое место в последовательности можно поставить любой из \(n\) предметов; при любом выборе первого предмета на второе место можно поставить любой из \(n - 1\) оставшихся, при любом выборе первых двух на третье — любой из \(n - 2\) оставшихся и так далее; на последнее место остаётся единственный предмет. По комбинаторному правилу умножения число способов равно \(n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1 = n!\). Например, пять различных книг можно расставить на полке \(5! = 120\) способами.

Ответ: число различных перестановок из \(n\) предметов равно \(n!\).

Факториал определён для натуральных чисел, а число 0 натуральным не является. Чтобы в различных формулах не делать исключения для числа 0, принято соглашение \(0! = 1\). Например, равенство \(n! = (n - 1)! \cdot n\) следует из определения факториала при \(n \geqslant 2\), а при таком соглашении оно верно и при \(n = 1\): \(1! = 0! \cdot 1 = 1\).

Ответ: факториал нуля по соглашению равен единице: \(0! = 1\).