Страница 66 номер 186, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Вычислите значение дроби: а) \(\frac{5!}{2!}\); б) \(\frac{7!}{5!}\); в) \(\frac{10!}{8!}\); г) \(\frac{100!}{99!}\); д) \(\frac{15!}{13! \cdot 2!}\); е) \(\frac{12!}{3! \cdot 9!}\)
а)
\[\frac{5!}{2!} = \frac{2! \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}{2!} = 3 \cdot 4 \cdot 5 = 60.\]
б)
\[\frac{7!}{5!} = \frac{5! \cdot 6 \cdot 7}{5!} = 6 \cdot 7 = 42.\]
в)
\[\frac{10!}{8!} = \frac{8! \cdot 9 \cdot 10}{8!} = 9 \cdot 10 = 90.\]
г)
\[\frac{100!}{99!} = \frac{99! \cdot 100}{99!} = 100.\]
д)
\[\frac{15!}{13! \cdot 2!} = \frac{13! \cdot 14 \cdot 15}{13! \cdot 1 \cdot 2} = \frac{14 \cdot 15}{2} = 7 \cdot 15 = 105.\]
е)
\[\frac{12!}{3! \cdot 9!} = \frac{9! \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 9!} = \frac{10 \cdot 11 \cdot 12}{6} = 10 \cdot 11 \cdot 2 = 220.\]
Ответ: а) 60; б) 42; в) 90; г) 100; д) 105; е) 220.
Вычислите значение дроби: а) \(\frac{5!}{2!}\); б) \(\frac{7!}{5!}\); в) \(\frac{10!}{8!}\); г) \(\frac{100!}{99!}\); д) \(\frac{15!}{13! \cdot 2!}\); е) \(\frac{12!}{3! \cdot 9!}\)
Факториал большего числа равен факториалу меньшего, умноженному на все следующие натуральные числа до большего включительно, например \(6! = 4! \cdot 5 \cdot 6\). Поэтому каждая дробь сокращается на факториал меньшего числа.
а)
\[\frac{5!}{2!} = \frac{2! \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}{2!} = 3 \cdot 4 \cdot 5 = 60.\]
б)
\[\frac{7!}{5!} = \frac{5! \cdot 6 \cdot 7}{5!} = 6 \cdot 7 = 42.\]
в)
\[\frac{10!}{8!} = \frac{8! \cdot 9 \cdot 10}{8!} = 9 \cdot 10 = 90.\]
г)
\[\frac{100!}{99!} = \frac{99! \cdot 100}{99!} = 100.\]
д)
\[\frac{15!}{13! \cdot 2!} = \frac{13! \cdot 14 \cdot 15}{13! \cdot 1 \cdot 2} = \frac{14 \cdot 15}{2} = 7 \cdot 15 = 105.\]
е)
\[\frac{12!}{3! \cdot 9!} = \frac{9! \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 9!} = \frac{10 \cdot 11 \cdot 12}{6} = 10 \cdot 11 \cdot 2 = 220.\]
Ответ: а) 60; б) 42; в) 90; г) 100; д) 105; е) 220.
