Страница 67 номер 196, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
У вахтёра в комнате доска с крючками. Всего 12 крючков, а на них 12 ключей. Доска упала, и ключи рассыпались. Вахтёр собрал ключи и развесил их в случайном порядке. Какова вероятность того, что: а) каждый ключ висит на своём крючке; б) хотя бы один ключ висит не на своём крючке; в) два определённых ключа перепутаны местами, а остальные висят на своих крючках; г) ровно один ключ висит не на своём крючке, а остальные — на своих?
Развесить ключи — перенумеровать их номерами крючков, то есть составить перестановку 12 ключей: \(N = 12! = 479\,001\,600\). Порядок случайный, поэтому все перестановки равновозможны.
а) Событию \(A\) «каждый ключ висит на своём крючке» благоприятствует ровно одна перестановка: \(N(A) = 1\).
\[P(A) = \frac{N(A)}{N} = \frac{1}{12!} = \frac{1}{479\,001\,600} \approx 2{,}088 \cdot 10^{-9}.\]
б) Событие «хотя бы один ключ висит не на своём крючке» происходит ровно тогда, когда не все ключи висят на своих крючках, — это событие \(\overline{A}\), противоположное событию \(A\).
\[P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{12!}.\]
в) Событию \(B\) «два определённых ключа перепутаны местами, а остальные висят на своих крючках» благоприятствует ровно одна перестановка: каждый из двух ключей висит на крючке другого, а остальные 10 ключей — на своих; \(N(B) = 1\), \(P(B) = \frac{N(B)}{N} = \frac{1}{12!}\).
г) На каждом крючке висит ровно один ключ. Если какой-то ключ висит не на своём крючке, то его собственный крючок занят другим ключом, и этот ключ тоже висит не на своём крючке. Значит, ключ не на своём крючке не может быть ровно один: событие \(C\) «ровно один ключ висит не на своём крючке, а остальные — на своих» невозможно, \(P(C) = 0\).
Ответ: а) \(\frac{1}{12!} \approx 2{,}088 \cdot 10^{-9}\); б) \(1 - \frac{1}{12!}\); в) \(\frac{1}{12!}\); г) 0.
У вахтёра в комнате доска с крючками. Всего 12 крючков, а на них 12 ключей. Доска упала, и ключи рассыпались. Вахтёр собрал ключи и развесил их в случайном порядке. Какова вероятность того, что: а) каждый ключ висит на своём крючке; б) хотя бы один ключ висит не на своём крючке; в) два определённых ключа перепутаны местами, а остальные висят на своих крючках; г) ровно один ключ висит не на своём крючке, а остальные — на своих?
Развесить 12 ключей на 12 крючков — значит перенумеровать ключи номерами крючков, то есть составить перестановку 12 ключей. Число перестановок 12 предметов \(N = 12! = 479\,001\,600\). Ключи развешаны в случайном порядке, поэтому все перестановки равновозможны.
а) Событию \(A\) «каждый ключ висит на своём крючке» благоприятствует ровно одна перестановка: \(N(A) = 1\). Следовательно,
\[P(A) = \frac{N(A)}{N} = \frac{1}{12!} = \frac{1}{479\,001\,600} \approx 2{,}088 \cdot 10^{-9}.\]
б) Событие «хотя бы один ключ висит не на своём крючке» происходит ровно тогда, когда не все ключи висят на своих крючках, то есть это событие \(\overline{A}\), противоположное событию \(A\). Сумма вероятностей взаимно противоположных событий равна единице, поэтому
\[P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{12!}.\]
в) Событию \(B\) «два определённых ключа перепутаны местами, а остальные висят на своих крючках» благоприятствует ровно одна перестановка: каждый из двух ключей висит на крючке другого, а остальные 10 ключей — на своих. Значит, \(N(B) = 1\) и \(P(B) = \frac{N(B)}{N} = \frac{1}{12!}\).
г) На каждом крючке висит ровно один ключ. Если какой-то ключ висит не на своём крючке, то его собственный крючок занят другим ключом, и этот ключ тоже висит не на своём крючке. Значит, ключ не на своём крючке не может быть ровно один, и событие \(C\) «ровно один ключ висит не на своём крючке, а остальные — на своих» невозможно. Вероятность невозможного события равна нулю: \(P(C) = 0\).
Ответ: а) \(\frac{1}{12!} \approx 2{,}088 \cdot 10^{-9}\); б) \(1 - \frac{1}{12!}\); в) \(\frac{1}{12!}\); г) 0.
