Страница 66 номер 194, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Какова вероятность того, что среди последних трёх цифр случайного телефонного номера: а) встретится цифра 7; б) встретится цифра 2 или цифра 3; в) встретится хотя бы одна из цифр 4, 0 или 1; г) будет хотя бы одна из цифр 1, 2, 4 и 9?
Элементарное событие — упорядоченный набор трёх последних цифр, каждая — любая из 10: \(N = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000\). Номер случайный, поэтому все наборы равновозможны.
В каждом пункте проще найти вероятность противоположного события «ни одной из названных цифр среди трёх последних нет».
а) Событию \(\overline{A}\), противоположному событию \(A\) «встретится цифра 7», благоприятствуют наборы из 9 цифр, кроме 7: \(N(\overline{A}) = 9 \cdot 9 \cdot 9 = 729\), \(P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - \frac{729}{1000} = 1 - 0{,}729 = 0{,}271\).
б) Событию \(\overline{B}\), противоположному событию \(B\) «встретится цифра 2 или цифра 3», благоприятствуют наборы из 8 цифр, кроме 2 и 3: \(N(\overline{B}) = 8 \cdot 8 \cdot 8 = 512\), \(P(B) = 1 - P(\overline{B}) = 1 - \frac{512}{1000} = 1 - 0{,}512 = 0{,}488\).
в) Событию \(\overline{C}\), противоположному событию \(C\) «встретится хотя бы одна из цифр 4, 0 или 1», благоприятствуют наборы из 7 остальных цифр: \(N(\overline{C}) = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 343\), \(P(C) = 1 - P(\overline{C}) = 1 - \frac{343}{1000} = 1 - 0{,}343 = 0{,}657\).
г) Событию \(\overline{D}\), противоположному событию \(D\) «будет хотя бы одна из цифр 1, 2, 4 и 9», благоприятствуют наборы из 6 остальных цифр: \(N(\overline{D}) = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216\), \(P(D) = 1 - P(\overline{D}) = 1 - \frac{216}{1000} = 1 - 0{,}216 = 0{,}784\).
Ответ: а) \(0{,}271\); б) \(0{,}488\); в) \(0{,}657\); г) \(0{,}784\).
Какова вероятность того, что среди последних трёх цифр случайного телефонного номера: а) встретится цифра 7; б) встретится цифра 2 или цифра 3; в) встретится хотя бы одна из цифр 4, 0 или 1; г) будет хотя бы одна из цифр 1, 2, 4 и 9?
Элементарное событие — упорядоченный набор трёх последних цифр номера. Каждая цифра — любая из 10, поэтому по комбинаторному правилу умножения \(N = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000\). Номер случайный, поэтому все наборы равновозможны.
В каждом пункте проще найти вероятность противоположного события «ни одной из названных цифр среди трёх последних нет»: ему благоприятствуют наборы, составленные только из остальных цифр. Сумма вероятностей взаимно противоположных событий равна единице, поэтому вероятность события равна единице минус вероятность противоположного.
а) Событию \(\overline{A}\), противоположному событию \(A\) «встретится цифра 7», благоприятствуют наборы из 9 цифр, кроме 7: \(N(\overline{A}) = 9 \cdot 9 \cdot 9 = 729\). Значит, \(P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - \frac{729}{1000} = 1 - 0{,}729 = 0{,}271\).
б) Событию \(\overline{B}\), противоположному событию \(B\) «встретится цифра 2 или цифра 3», благоприятствуют наборы из 8 цифр, кроме 2 и 3: \(N(\overline{B}) = 8 \cdot 8 \cdot 8 = 512\). Значит, \(P(B) = 1 - P(\overline{B}) = 1 - \frac{512}{1000} = 1 - 0{,}512 = 0{,}488\).
в) Событию \(\overline{C}\), противоположному событию \(C\) «встретится хотя бы одна из цифр 4, 0 или 1», благоприятствуют наборы из 7 остальных цифр: \(N(\overline{C}) = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 343\). Значит, \(P(C) = 1 - P(\overline{C}) = 1 - \frac{343}{1000} = 1 - 0{,}343 = 0{,}657\).
г) Событию \(\overline{D}\), противоположному событию \(D\) «будет хотя бы одна из цифр 1, 2, 4 и 9», благоприятствуют наборы из 6 остальных цифр: \(N(\overline{D}) = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216\). Значит, \(P(D) = 1 - P(\overline{D}) = 1 - \frac{216}{1000} = 1 - 0{,}216 = 0{,}784\).
Ответ: а) \(0{,}271\); б) \(0{,}488\); в) \(0{,}657\); г) \(0{,}784\).
