Страница 59 номер 168, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Бросают одну игральную кость. Событие \(A\) — «выпадет чётное число очков». Являются ли независимыми события \(A\) и \(B\), если событие \(B\) состоит в том, что: а) выпадет число очков, кратное 3; б) выпадет число очков, кратное 5?
Элементарные события — выпадение 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков, они равновозможны, \(N = 6\).
\(A = \{2, 4, 6\}\), \(P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\).
а) \(B = \{3, 6\}\), \(A \cap B = \{6\}\).
\(P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\), \({P(A \cap B)} = \frac{1}{6}\).
Произведение \(P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}\) равно \({P(A \cap B)}\), значит, события \(A\) и \(B\) независимы.
б) \(B = \{5\}\), \(P(B) = \frac{1}{6}\).
Число 5 нечётное, поэтому \(A \cap B = \varnothing\): события \(A\) и \(B\) несовместны и \({P(A \cap B)} = 0\).
А произведение \(P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{12}\) больше нуля. Равенство \({P(A \cap B)} = P(A) \cdot P(B)\) не выполняется: события \(A\) и \(B\) зависимы.
Ответ: а) да, события \(A\) и \(B\) независимы; б) нет, события \(A\) и \(B\) зависимы.
Бросают одну игральную кость. Событие \(A\) — «выпадет чётное число очков». Являются ли независимыми события \(A\) и \(B\), если событие \(B\) состоит в том, что: а) выпадет число очков, кратное 3; б) выпадет число очков, кратное 5?
Элементарные события — выпадение 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков, они равновозможны, \(N = 6\). Запишем события перечнями выпавших очков: \(A = \{2, 4, 6\}\), поэтому \(P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\).
а) \(B = \{3, 6\}\), \(A \cap B = \{6\}\), поэтому \(P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\), \({P(A \cap B)} = \frac{1}{6}\). Произведение \(P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}\) равно \({P(A \cap B)}\), значит, события \(A\) и \(B\) независимы.
б) \(B = \{5\}\), \(P(B) = \frac{1}{6}\). Число 5 нечётное, поэтому \(A \cap B = \varnothing\): события \(A\) и \(B\) несовместны и \({P(A \cap B)} = 0\). А произведение \(P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{12}\) больше нуля. Равенство \({P(A \cap B)} = P(A) \cdot P(B)\) не выполняется: события \(A\) и \(B\) зависимы.
Ответ: а) да, события \(A\) и \(B\) независимы; б) нет, события \(A\) и \(B\) зависимы.
