Страница 58 номер 165, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Монету бросают 2 раза. Являются ли независимыми события: а) \(A\) «в первый раз выпадет орёл» и \(B\) «во второй раз выпадет решка»; б) \(A\) «при первом броске выпадет орёл» и \(B\) «орёл выпадет хотя бы один раз»?
Обозначим исходы двумя буквами: первая — результат первого броска, вторая — второго (О — орёл, Р — решка). Элементарных событий четыре — ОО, ОР, РО, РР, они равновозможны, \(N = 4\).
а) \(A = \{\text{ОО}, \text{ОР}\}\), \(B = \{\text{ОР}, \text{РР}\}\), \(A \cap B = \{\text{ОР}\}\).
\(P(A) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\), \(P(B) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\), \({P(A \cap B)} = \frac{1}{4}\).
Произведение \(P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\) равно \({P(A \cap B)}\), значит, события \(A\) и \(B\) независимы.
б) \(A = \{\text{ОО}, \text{ОР}\}\), \(B = \{\text{ОО}, \text{ОР}, \text{РО}\}\). Событие \(A\) содержится в событии \(B\), поэтому \(A \cap B = A\).
\(P(A) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\), \(P(B) = \frac{3}{4}\), \({P(A \cap B)} = P(A) = \frac{1}{2}\), а \(P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{8}\).
Так как \(\frac{1}{2} \ne \frac{3}{8}\), равенство \({P(A \cap B)} = P(A) \cdot P(B)\) не выполняется: события \(A\) и \(B\) зависимы.
Ответ: а) да, события \(A\) и \(B\) независимы; б) нет, события \(A\) и \(B\) зависимы.
Монету бросают 2 раза. Являются ли независимыми события: а) \(A\) «в первый раз выпадет орёл» и \(B\) «во второй раз выпадет решка»; б) \(A\) «при первом броске выпадет орёл» и \(B\) «орёл выпадет хотя бы один раз»?
Обозначим исходы двумя буквами: первая — результат первого броска, вторая — второго (О — орёл, Р — решка). Элементарных событий четыре — ОО, ОР, РО, РР, они равновозможны, \(N = 4\).
а) \(A = \{\text{ОО}, \text{ОР}\}\), \(B = \{\text{ОР}, \text{РР}\}\), \(A \cap B = \{\text{ОР}\}\). Тогда \(P(A) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\), \(P(B) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\), \({P(A \cap B)} = \frac{1}{4}\). Произведение \(P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\) равно \({P(A \cap B)}\), значит, события \(A\) и \(B\) независимы.
б) \(A = \{\text{ОО}, \text{ОР}\}\), \(B = \{\text{ОО}, \text{ОР}, \text{РО}\}\). Если при первом броске выпал орёл, то орёл выпал хотя бы один раз: событие \(A\) содержится в событии \(B\), поэтому \(A \cap B = A\). Тогда \(P(A) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\), \(P(B) = \frac{3}{4}\), \({P(A \cap B)} = P(A) = \frac{1}{2}\), а \(P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{8}\). Так как \(\frac{1}{2} \ne \frac{3}{8}\), равенство \({P(A \cap B)} = P(A) \cdot P(B)\) не выполняется: события \(A\) и \(B\) зависимы.
Ответ: а) да, события \(A\) и \(B\) независимы; б) нет, события \(A\) и \(B\) зависимы.
