Вопросы после параграфа §71 на странице 58, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Высоцкого часть 2
Пусть вероятности событий \(A\) и \(B\) больше нуля. События \(A\) и \(B\) называются независимыми, если вероятность их пересечения равна произведению их вероятностей:
\[P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B).\]
Так же говорят о трёх и более событиях: они независимы, если вероятность пересечения любого набора из них равна произведению их вероятностей.
Например, при бросании двух игральных костей события «на первой кости выпадет шестёрка» и «на второй кости выпадет шестёрка» независимы: вероятность каждого из них равна \(\frac{1}{6}\), а вероятность их пересечения — выпадения двух шестёрок — равна \(\frac{1}{36} = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6}\).
Ответ: события \(A\) и \(B\), вероятности которых больше нуля, называются независимыми, если \({P(A \cap B)} = P(A) \cdot P(B)\).
Событию \(\overline{A}\) благоприятствуют все элементарные события, которые не благоприятствуют событию \(A\), поэтому у событий \(A\) и \(\overline{A}\) нет общих благоприятствующих элементарных событий: они несовместны, \(A \cap \overline{A} = \varnothing\) и \({P(A \cap \overline{A})} = 0\).
А произведение положительных вероятностей больше нуля: \(P(A) \cdot P(\overline{A}) > 0\).
Равенство \({P(A \cap \overline{A})} = P(A) \cdot P(\overline{A})\) не выполняется, значит, события \(A\) и \(\overline{A}\) зависимы.
Ответ: нет, не могут: события \(A\) и \(\overline{A}\) зависимы.
В результате случайного опыта наступает только одно элементарное событие, поэтому два разных элементарных события несовместны и вероятность их пересечения равна 0.
Определение независимости говорит о событиях с положительными вероятностями, а произведение двух положительных вероятностей больше нуля. Значит, для разных элементарных событий с положительными вероятностями вероятность пересечения не равна произведению вероятностей — такие события зависимы.
Например, при бросании игральной кости у элементарных событий «выпадет одно очко» и «выпадет два очка» вероятность пересечения равна 0, а произведение вероятностей равно \(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}\).
Ответ: нет: разные элементарные события несовместны, и при положительных вероятностях они зависимы.
Пусть вероятности событий \(A\) и \(B\) больше нуля. События \(A\) и \(B\) называются независимыми, если вероятность их пересечения равна произведению их вероятностей:
\[P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B).\]
Это значит, что наступление одного из событий не влияет на вероятность другого: \({P(A \mid B)} = P(A)\) и \({P(B \mid A)} = P(B)\). Так же говорят о трёх и более событиях: они независимы, если вероятность пересечения любого набора из них равна произведению их вероятностей.
Например, при бросании двух игральных костей события «на первой кости выпадет шестёрка» и «на второй кости выпадет шестёрка» независимы: вероятность каждого из них равна \(\frac{1}{6}\), а вероятность их пересечения — выпадения двух шестёрок — равна \(\frac{1}{36} = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6}\).
Ответ: события \(A\) и \(B\), вероятности которых больше нуля, называются независимыми, если \({P(A \cap B)} = P(A) \cdot P(B)\).
Событию \(\overline{A}\) благоприятствуют все элементарные события, которые не благоприятствуют событию \(A\), поэтому у событий \(A\) и \(\overline{A}\) нет общих благоприятствующих элементарных событий: они несовместны, \(A \cap \overline{A} = \varnothing\) и \({P(A \cap \overline{A})} = 0\). А произведение положительных вероятностей больше нуля: \(P(A) \cdot P(\overline{A}) > 0\). Равенство \({P(A \cap \overline{A})} = P(A) \cdot P(\overline{A})\) не выполняется, значит, события \(A\) и \(\overline{A}\) зависимы: если наступило событие \(A\), то противоположное ему заведомо не наступило.
Ответ: нет, не могут: события \(A\) и \(\overline{A}\) зависимы.
В результате случайного опыта наступает только одно элементарное событие, поэтому два разных элементарных события не могут наступить одновременно: они несовместны, и вероятность их пересечения равна 0. Определение независимости говорит о событиях с положительными вероятностями, а произведение двух положительных вероятностей больше нуля. Значит, для разных элементарных событий с положительными вероятностями вероятность пересечения не равна произведению вероятностей — такие события зависимы. Например, при бросании игральной кости элементарные события «выпадет одно очко» и «выпадет два очка» вместе не наступают, вероятность их пересечения равна 0, а произведение их вероятностей равно \(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}\).
Ответ: нет: разные элементарные события несовместны, и при положительных вероятностях они зависимы.
