Страница 58 номер 167, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Случайным образом выбираем натуральное число от 1 до 24. Событие \(C\) — «число чётное». Являются ли события \(C\) и \(D\) независимыми, если событие \(D\) состоит в том, что: а) выбранное число делится на 3; б) выбранное число делится на 7?
Все 24 числа равновозможны, \(N = 24\).
Чётных чисел \(24 : 2 = 12\), поэтому \(P(C) = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}\).
а) На 3 делятся \(24 : 3 = 8\) чисел, поэтому \(P(D) = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}\).
Событие \(C \cap D\) — число делится и на 2, и на 3, то есть на 6; таких чисел \(24 : 6 = 4\), поэтому \({P(C \cap D)} = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}\).
Произведение \(P(C) \cdot P(D) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}\) равно \({P(C \cap D)}\), значит, события \(C\) и \(D\) независимы.
б) На 7 делятся три числа: 7, 14 и 21, поэтому \(P(D) = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}\).
Чётное из них одно — 14, поэтому \({P(C \cap D)} = \frac{1}{24}\), а \(P(C) \cdot P(D) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{16}\).
Так как \(\frac{1}{24} \ne \frac{1}{16}\), равенство \({P(C \cap D)} = P(C) \cdot P(D)\) не выполняется: события \(C\) и \(D\) зависимы.
Ответ: а) да, события \(C\) и \(D\) независимы; б) нет, события \(C\) и \(D\) зависимы.
Случайным образом выбираем натуральное число от 1 до 24. Событие \(C\) — «число чётное». Являются ли события \(C\) и \(D\) независимыми, если событие \(D\) состоит в том, что: а) выбранное число делится на 3; б) выбранное число делится на 7?
Число выбирают случайным образом, поэтому все 24 числа равновозможны, \(N = 24\). Чётных чисел среди них \(24 : 2 = 12\), поэтому \(P(C) = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}\).
а) На 3 делятся \(24 : 3 = 8\) чисел, поэтому \(P(D) = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}\). Событие \(C \cap D\) состоит в том, что выбранное число делится и на 2, и на 3, то есть делится на 6; таких чисел \(24 : 6 = 4\), поэтому \({P(C \cap D)} = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}\). Произведение \(P(C) \cdot P(D) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}\) равно \({P(C \cap D)}\), значит, события \(C\) и \(D\) независимы.
б) На 7 делятся три числа: 7, 14 и 21, поэтому \(P(D) = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}\). Чётное из них одно — 14, поэтому \({P(C \cap D)} = \frac{1}{24}\), а \(P(C) \cdot P(D) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{16}\). Так как \(\frac{1}{24} \ne \frac{1}{16}\), равенство \({P(C \cap D)} = P(C) \cdot P(D)\) не выполняется: события \(C\) и \(D\) зависимы.
Ответ: а) да, события \(C\) и \(D\) независимы; б) нет, события \(C\) и \(D\) зависимы.
