Страница 58 номер 166, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень

Элементарные события — пары очков: первое число — очки при первом броске, второе — при втором, например \((6; 1)\). По правилу умножения таких пар \(6 \cdot 6 = 36\), они равновозможны, \(N = 36\).

а) Событию \(A\) благоприятствуют 6 пар: первое число 6, второе — любое. Событию \(B\) благоприятствуют \(6 \cdot 2 = 12\) пар: первое число любое, второе — 1 или 2. Событию \(A \cap B\) благоприятствуют 2 пары: \(A \cap B = \{(6; 1), (6; 2)\}\). Значит, \(P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\), \(P(B) = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}\), \({P(A \cap B)} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}\). Произведение \(P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{18}\) равно \({P(A \cap B)}\), значит, события \(A\) и \(B\) независимы.

б) Событию \(A\) благоприятствуют \(3 \cdot 6 = 18\) пар: первое число 4, 5 или 6, второе — любое. Событию \(B\) благоприятствуют пары с суммой очков меньше девяти: если при первом броске выпало 1 или 2 очка, подходит любой результат второго броска — 12 пар; если 3 очка — второй бросок от 1 до 5 очков, 5 пар; если 4, 5 или 6 очков — соответственно 4, 3 и 2 пары. Всего \(12 + 5 + 4 + 3 + 2 = 26\) пар. Событию \(A \cap B\) благоприятствуют \(4 + 3 + 2 = 9\) пар: \((4; 1)\), \((4; 2)\), \((4; 3)\), \((4; 4)\), \((5; 1)\), \((5; 2)\), \((5; 3)\), \((6; 1)\), \((6; 2)\). Значит, \(P(A) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}\), \(P(B) = \frac{26}{36} = \frac{13}{18}\), \({P(A \cap B)} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}\), а \(P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{13}{18} = \frac{13}{36}\). Так как \(\frac{1}{4} = \frac{9}{36} \ne \frac{13}{36}\), равенство \({P(A \cap B)} = P(A) \cdot P(B)\) не выполняется: события \(A\) и \(B\) зависимы.

Отметим исходы событий в таблице двух бросков: строка — первый бросок, столбец — второй.

Ответ: а) да, события \(A\) и \(B\) независимы; б) нет, события \(A\) и \(B\) зависимы.