Страница 59 номер 172, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
События \(A\) и \(B\) независимы. Докажите, что независимы события \(A\) и \(\overline{B}\).
По определению независимости \(P(A) > 0\) и \(P(B) > 0\); будем считать, что и \(P(\overline{B}) = 1 - P(B) > 0\), то есть \(P(B) < 1\), — иначе определение независимости к событиям \(A\) и \(\overline{B}\) неприменимо.
События \(A \cap \overline{B}\) и \(A \cap B\) несовместны, так как события \(\overline{B}\) и \(B\) одновременно произойти не могут, и вместе образуют событие \(A\): если наступило \(A\), то \(B\) либо наступило, либо не наступило.
Поэтому по правилу сложения вероятностей несовместных событий \(P(A) = {P(A \cap \overline{B})} + {P(A \cap B)}\), откуда \({P(A \cap \overline{B})} = P(A) - {P(A \cap B)}\).
События \(A\) и \(B\) независимы, то есть \({P(A \cap B)} = P(A) \cdot P(B)\), поэтому
\[\begin{aligned} &P(A \cap \overline{B}) = P(A) - P(A) \cdot P(B) = {} \\ &= P(A) \cdot (1 - P(B)) = P(A) \cdot P(\overline{B}). \end{aligned}\]
Вероятности событий \(A\) и \(\overline{B}\) больше нуля, и вероятность их пересечения равна произведению их вероятностей. Значит, события \(A\) и \(\overline{B}\) независимы.
Ответ: \({P(A \cap \overline{B})} = P(A) \cdot P(\overline{B})\), поэтому при \(P(B) < 1\) события \(A\) и \(\overline{B}\) независимы.
События \(A\) и \(B\) независимы. Докажите, что независимы события \(A\) и \(\overline{B}\).
По определению независимости \(P(A) > 0\) и \(P(B) > 0\); будем считать, что и \(P(\overline{B}) = 1 - P(B) > 0\), то есть \(P(B) < 1\), — иначе определение независимости к событиям \(A\) и \(\overline{B}\) неприменимо.
Событие \(A \cap \overline{B}\) состоит в том, что наступило \(A\), но не наступило \(B\). События \(A \cap \overline{B}\) и \(A \cap B\) несовместны, так как события \(\overline{B}\) и \(B\) одновременно произойти не могут, и вместе образуют событие \(A\): если наступило \(A\), то \(B\) либо наступило, либо не наступило. Поэтому по правилу сложения вероятностей несовместных событий \(P(A) = {P(A \cap \overline{B})} + {P(A \cap B)}\), откуда \({P(A \cap \overline{B})} = P(A) - {P(A \cap B)}\). События \(A\) и \(B\) независимы, то есть \({P(A \cap B)} = P(A) \cdot P(B)\), поэтому
\[\begin{aligned} &P(A \cap \overline{B}) = P(A) - P(A) \cdot P(B) = {} \\ &= P(A) \cdot (1 - P(B)) = P(A) \cdot P(\overline{B}). \end{aligned}\]
Вероятности событий \(A\) и \(\overline{B}\) больше нуля, и вероятность их пересечения равна произведению их вероятностей. Значит, события \(A\) и \(\overline{B}\) независимы.
Ответ: \({P(A \cap \overline{B})} = P(A) \cdot P(\overline{B})\), поэтому при \(P(B) < 1\) события \(A\) и \(\overline{B}\) независимы.
