Страница 66 номер 188, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Докажите, что если \(n < m\), то \(m!\) делится на \(n!\) без остатка.
Пусть \(n\) и \(m\) — натуральные числа, \(n < m\). Числа от 1 до \(n\) входят в произведение \(m!\) всех натуральных чисел от 1 до \(m\), и их произведение равно \(n!\), поэтому
\[m! = (1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n) \cdot (n + 1) \cdot \ldots \cdot m = n! \cdot (n + 1) \cdot \ldots \cdot m.\]
Произведение натуральных чисел \((n + 1) \cdot \ldots \cdot m\) — натуральное число. Значит, \(m!\) делится на \(n!\) без остатка.
Если \(n = 0\), то \(n! = 0! = 1\), а на 1 без остатка делится любое натуральное число, в том числе \(m!\).
Ответ: при \(n < m\) верно равенство \(m! = n! \cdot (n + 1) \cdot \ldots \cdot m\), поэтому \(m!\) делится на \(n!\) без остатка.
Докажите, что если \(n < m\), то \(m!\) делится на \(n!\) без остатка.
Пусть \(n\) и \(m\) — натуральные числа и \(n < m\). По определению \(m!\) — произведение всех натуральных чисел от 1 до \(m\). Числа от 1 до \(n\) входят в это произведение, и их произведение равно \(n!\), поэтому
\[m! = (1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n) \cdot (n + 1) \cdot \ldots \cdot m = n! \cdot (n + 1) \cdot \ldots \cdot m.\]
Произведение натуральных чисел \((n + 1) \cdot \ldots \cdot m\) — натуральное число. Значит, \(m!\) делится на \(n!\) без остатка, и частное равно \((n + 1) \cdot \ldots \cdot m\). Например, \(7! : 4! = 5 \cdot 6 \cdot 7 = 210\).
Если \(n = 0\), то \(n! = 0! = 1\), а на 1 без остатка делится любое натуральное число, в том числе \(m!\).
Ответ: при \(n < m\) верно равенство \(m! = n! \cdot (n + 1) \cdot \ldots \cdot m\), поэтому \(m!\) делится на \(n!\) без остатка.
