Страница 56 номер 160, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
На двух заводах изготавливают одинаковые лампочки для автомобильных фар. 30 % всех лампочек делают на первом заводе, остальные — на втором. В среднем 10 % продукции первого завода и 20 % продукции второго завода поступают в торговую сеть «Автоимидж». Найдите вероятность того, что лампочка, купленная в магазине сети «Автоимидж», произведена на первом заводе.
Обозначим события: \(A\) — «лампочка сделана на первом заводе», \(B\) — «лампочка поступила в торговую сеть». По условию \(P(A) = 0{,}3\), тогда \(P(\overline{A}) = 1 - 0{,}3 = 0{,}7\).
Лампочка первого завода поступает в сеть с вероятностью \({P(B \mid A)} = 0{,}1\) и не поступает с вероятностью \(1 - 0{,}1 = 0{,}9\).
Лампочка второго завода поступает в сеть с вероятностью \({P(B \mid \overline{A})} = 0{,}2\) и не поступает с вероятностью \(1 - 0{,}2 = 0{,}8\).
Событию \(B\) благоприятствуют цепи \(SAB\) и \(S\overline{A}B\). Изобразим дерево опыта и выделим эти цепи:
\[\begin{aligned} &P(B) = P(SAB) + P(S\overline{A}B) = 0{,}3 \cdot 0{,}1 + 0{,}7 \cdot 0{,}2 = {} \\ &= 0{,}03 + 0{,}14 = 0{,}17. \end{aligned}\] Лампочка куплена в магазине сети, значит, событие \(B\) произошло, и нужна условная вероятность события \(A\) при условии \(B\). Пересечению \(A \cap B\) соответствует цепь \(SAB\), поэтому \({P(A \cap B)} = 0{,}03\) и \[P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0{,}03}{0{,}17} = \frac{3}{17} \approx 0{,}176.\]
Ответ: \(\approx 0{,}176\).
На двух заводах изготавливают одинаковые лампочки для автомобильных фар. 30 % всех лампочек делают на первом заводе, остальные — на втором. В среднем 10 % продукции первого завода и 20 % продукции второго завода поступают в торговую сеть «Автоимидж». Найдите вероятность того, что лампочка, купленная в магазине сети «Автоимидж», произведена на первом заводе.
Обозначим события: \(A\) — «лампочка сделана на первом заводе», \(B\) — «лампочка поступила в торговую сеть». По условию \(P(A) = 0{,}3\), тогда \(P(\overline{A}) = 1 - 0{,}3 = 0{,}7\). Лампочка первого завода поступает в сеть с вероятностью \({P(B \mid A)} = 0{,}1\) и не поступает с вероятностью \(1 - 0{,}1 = 0{,}9\); лампочка второго завода поступает в сеть с вероятностью \({P(B \mid \overline{A})} = 0{,}2\) и не поступает с вероятностью \(1 - 0{,}2 = 0{,}8\). Событию \(B\) благоприятствуют цепи \(SAB\) и \(S\overline{A}B\). Изобразим дерево опыта и выделим эти цепи:
Вероятность события \(B\) равна сумме вероятностей этих цепей: \[\begin{aligned} &P(B) = P(SAB) + P(S\overline{A}B) = 0{,}3 \cdot 0{,}1 + 0{,}7 \cdot 0{,}2 = {} \\ &= 0{,}03 + 0{,}14 = 0{,}17. \end{aligned}\] Лампочка куплена в магазине сети, значит, событие \(B\) произошло, и нужна условная вероятность события \(A\) при условии \(B\). Пересечению \(A \cap B\) соответствует цепь \(SAB\), поэтому \({P(A \cap B)} = 0{,}03\) и \[P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0{,}03}{0{,}17} = \frac{3}{17} \approx 0{,}176.\]
Ответ: \(\approx 0{,}176\).
