Страница 56 номер 159, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
В коробке было 2 красных и 3 синих фломастера. Ваня не глядя достал из коробки 2 фломастера, причём оказалось, что среди них есть синий. Какова вероятность, что Ваня достал: а) 2 синих фломастера; б) 1 красный и 1 синий?
Мысленно разобьём одновременный выбор двух фломастеров на два выбора подряд. Обозначим красный фломастер буквой К, синий — буквой С. Всего в коробке \(2 + 3 = 5\) фломастеров.
Первый фломастер красный с вероятностью \(\frac{2}{5}\), синий — с вероятностью \(\frac{3}{5}\).
Если первый красный, то остались 1 красный и 3 синих: второй красный с вероятностью \(\frac{1}{4}\), синий — с вероятностью \(\frac{3}{4}\).
Если первый синий, то остались 2 красных и 2 синих: второй красный с вероятностью \(\frac{2}{4} = \frac{1}{2}\), синий — тоже с вероятностью \(\frac{1}{2}\).
Событию \(B\) «среди фломастеров есть синий» благоприятствуют цепи \(S\)КС, \(S\)СК и \(S\)СС. Изобразим дерево опыта и обведём концы этих цепей овалом \(B\):
\[\begin{aligned} P(S\text{КС}) &= \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{10}; \\ P(S\text{СК}) &= \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{10}; \\ P(S\text{СС}) &= \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{10}; \\ P(B) &= \frac{3}{10} + \frac{3}{10} + \frac{3}{10} = \frac{9}{10}. \end{aligned}\]
а) Событие \(A\) «оба фломастера синие» изображается цепью \(S\)СС. Оно содержится в событии \(B\), поэтому \(A \cap B = A\) и \({P(A \cap B)} = \frac{3}{10}\). Известно, что событие \(B\) произошло, поэтому нужна условная вероятность события \(A\) при условии \(B\): \[P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{3}{10} : \frac{9}{10} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}.\]
б) Событию \(D\) «один фломастер красный, другой синий» благоприятствуют цепи \(S\)КС и \(S\)СК. Оно тоже содержится в событии \(B\), поэтому \({P(D \cap B)} = P(D) = \frac{3}{10} + \frac{3}{10} = \frac{6}{10}\) и \[P(D \mid B) = \frac{P(D \cap B)}{P(B)} = \frac{6}{10} : \frac{9}{10} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}.\]
Ответ: а) \(\frac{1}{3}\); б) \(\frac{2}{3}\).
В коробке было 2 красных и 3 синих фломастера. Ваня не глядя достал из коробки 2 фломастера, причём оказалось, что среди них есть синий. Какова вероятность, что Ваня достал: а) 2 синих фломастера; б) 1 красный и 1 синий?
Мысленно разобьём одновременный выбор двух фломастеров на два выбора подряд. Обозначим красный фломастер буквой К, синий — буквой С. Всего в коробке \(2 + 3 = 5\) фломастеров. Первый фломастер красный с вероятностью \(\frac{2}{5}\), синий — с вероятностью \(\frac{3}{5}\). Если первый красный, то остались 1 красный и 3 синих: второй красный с вероятностью \(\frac{1}{4}\), синий — с вероятностью \(\frac{3}{4}\). Если первый синий, то остались 2 красных и 2 синих: второй красный с вероятностью \(\frac{2}{4} = \frac{1}{2}\), синий — тоже с вероятностью \(\frac{1}{2}\).
Событию \(B\) «среди фломастеров есть синий» благоприятствуют цепи \(S\)КС, \(S\)СК и \(S\)СС. Изобразим дерево опыта и обведём концы этих цепей овалом \(B\):
Вероятности этих цепей и события \(B\): \[\begin{aligned} P(S\text{КС}) &= \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{10}; \\ P(S\text{СК}) &= \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{10}; \\ P(S\text{СС}) &= \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{10}; \\ P(B) &= \frac{3}{10} + \frac{3}{10} + \frac{3}{10} = \frac{9}{10}. \end{aligned}\]
а) Событие \(A\) «оба фломастера синие» изображается цепью \(S\)СС. Оно содержится в событии \(B\), поэтому \(A \cap B = A\) и \({P(A \cap B)} = \frac{3}{10}\). Известно, что событие \(B\) произошло, поэтому нужна условная вероятность события \(A\) при условии \(B\): \[P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{3}{10} : \frac{9}{10} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}.\]
б) Событию \(D\) «один фломастер красный, другой синий» благоприятствуют цепи \(S\)КС и \(S\)СК. Оно тоже содержится в событии \(B\), поэтому \({P(D \cap B)} = P(D) = \frac{3}{10} + \frac{3}{10} = \frac{6}{10}\) и \[P(D \mid B) = \frac{P(D \cap B)}{P(B)} = \frac{6}{10} : \frac{9}{10} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}.\]
Ответ: а) \(\frac{1}{3}\); б) \(\frac{2}{3}\).
