Страница 51 номер 138, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Игральную кость бросают 2 раза. В первый раз выпало 3 очка. Найдите вероятность того, что после второго броска сумма очков окажется: а) равна 9; б) больше чем 7; в) больше чем 10; г) меньше чем 5.
Исход — пара очков (первое число — очки при первом броске, второе — при втором), \(N = 6 \cdot 6 = 36\), исходы равновозможны.
\(B\) — «в первый раз выпадет 3 очка», ему благоприятствуют 6 исходов: \(B = \{(3; 1), (3; 2), \ldots, (3; 6)\}\), \(P(B) = \frac{6}{36}\). Нужно найти условные вероятности событий при условии \(B\).
а) \(A\) — «сумма очков равна 9»: \(A \cap B = \{(3; 6)\}\), \({P(A \cap B)} = \frac{1}{36}\). \[P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1}{36} : \frac{6}{36} = \frac{1}{6}.\]
б) \(C\) — «сумма очков больше 7»: из исходов события \(B\) ему благоприятствуют \((3; 5)\) и \((3; 6)\) — суммы 8 и 9, \({P(C \cap B)} = \frac{2}{36}\). \[P(C \mid B) = \frac{P(C \cap B)}{P(B)} = \frac{2}{36} : \frac{6}{36} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}.\]
в) \(D\) — «сумма очков больше 10»: если в первый раз выпало 3 очка, сумма не больше \(3 + 6 = 9\). Значит, \(D \cap B = \varnothing\), \({P(D \cap B)} = 0\). \[P(D \mid B) = \frac{P(D \cap B)}{P(B)} = 0 : \frac{6}{36} = 0.\]
г) \(E\) — «сумма очков меньше 5»: из исходов события \(B\) ему благоприятствует только \((3; 1)\) — сумма 4, \({P(E \cap B)} = \frac{1}{36}\). \[P(E \mid B) = \frac{P(E \cap B)}{P(B)} = \frac{1}{36} : \frac{6}{36} = \frac{1}{6}.\]
Ответ: а) \(\frac{1}{6}\); б) \(\frac{1}{3}\); в) 0; г) \(\frac{1}{6}\).
Игральную кость бросают 2 раза. В первый раз выпало 3 очка. Найдите вероятность того, что после второго броска сумма очков окажется: а) равна 9; б) больше чем 7; в) больше чем 10; г) меньше чем 5.
Исход опыта — пара очков: первое число — очки при первом броске, второе — при втором. Всего исходов \(N = 6 \cdot 6 = 36\), они равновозможны. Обозначим \(B\) — событие «в первый раз выпадет 3 очка». Ему благоприятствуют 6 исходов: \(B = \{(3; 1), (3; 2), \ldots, (3; 6)\}\), поэтому \(P(B) = \frac{6}{36}\). Нужно найти условные вероятности событий при условии \(B\).
а) Из исходов события \(B\) событию \(A\) «сумма очков равна 9» благоприятствует только \((3; 6)\): \(A \cap B = \{(3; 6)\}\), \({P(A \cap B)} = \frac{1}{36}\). По формуле условной вероятности \[P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1}{36} : \frac{6}{36} = \frac{1}{6}.\]
б) Из исходов события \(B\) событию \(C\) «сумма очков больше 7» благоприятствуют \((3; 5)\) и \((3; 6)\) — суммы 8 и 9, поэтому \({P(C \cap B)} = \frac{2}{36}\) и \[P(C \mid B) = \frac{P(C \cap B)}{P(B)} = \frac{2}{36} : \frac{6}{36} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}.\]
в) Событие \(D\) — «сумма очков больше 10». Если в первый раз выпало 3 очка, то сумма не больше \(3 + 6 = 9\). Значит, \(D \cap B = \varnothing\), \({P(D \cap B)} = 0\) и \[P(D \mid B) = \frac{P(D \cap B)}{P(B)} = 0 : \frac{6}{36} = 0.\]
г) Из исходов события \(B\) событию \(E\) «сумма очков меньше 5» благоприятствует только \((3; 1)\) — сумма 4, поэтому \({P(E \cap B)} = \frac{1}{36}\) и \[P(E \mid B) = \frac{P(E \cap B)}{P(B)} = \frac{1}{36} : \frac{6}{36} = \frac{1}{6}.\]
Ответ: а) \(\frac{1}{6}\); б) \(\frac{1}{3}\); в) 0; г) \(\frac{1}{6}\).
