Страница 51 номер 142, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
На кассе в магазине продаются леденцы. В какой-то момент в коробке осталось 10 красных, 9 синих и 6 зелёных леденцов. Таня, Ваня и Маня по очереди покупают по одному леденцу. Кассир не глядя достаёт леденцы из коробки. Найдите вероятность того, что: а) Таня и Ваня получат зелёные, а Маня — красный леденец; б) Таня и Маня получат синие леденцы, а Ваня — красный; в) Таня получит зелёный леденец, Ваня — красный, а Маня — синий; г) все трое получат красные леденцы.
\(10 + 9 + 6 = 25\) — леденцов в коробке.
Кассир достаёт леденцы не глядя, поэтому вероятность достать леденец некоторого цвета равна доле таких леденцов среди тех, что лежат в коробке.
В каждом пункте \(A\) — «Таня получит леденец названного цвета», \(B\) — «Ваня получит леденец названного цвета», \(C\) — «Маня получит леденец названного цвета». Нужно найти вероятность того, что произойдут все три события, то есть вероятность события \(A \cap B \cap C\). Применим правило умножения вероятностей к событиям \(A \cap B\) и \(C\), а затем к событиям \(A\) и \(B\): \[\begin{aligned} &P(A \cap B \cap C) = P(A \cap B) \cdot P(C \mid A \cap B) = {} \\ &= P(A) \cdot P(B \mid A) \cdot P(C \mid A \cap B). \end{aligned}\]
Каждую условную вероятность находим по леденцам, которые остались в коробке, когда предыдущие события уже произошли.
а) \(P(A) = \frac{6}{25}\) — зелёных леденцов 6 из 25.
\({P(B \mid A)} = \frac{5}{24}\) — если Таня получила зелёный леденец, осталось 24 леденца, из них 5 зелёных.
\({P(C \mid A \cap B)} = \frac{10}{23}\) — если и Ваня получил зелёный, осталось 23 леденца, из них 10 красных. \[\begin{aligned} &P(A \cap B \cap C) = \frac{6}{25} \cdot \frac{5}{24} \cdot \frac{10}{23} = {} \\ &= \frac{6 \cdot 5 \cdot 10}{25 \cdot 24 \cdot 23} = \frac{1}{46}. \end{aligned}\]
б) \(P(A) = \frac{9}{25}\) — синих леденцов 9 из 25.
\({P(B \mid A)} = \frac{10}{24}\) — если Таня получила синий леденец, осталось 24 леденца, из них 10 красных.
\({P(C \mid A \cap B)} = \frac{8}{23}\) — если затем Ваня получил красный, осталось 23 леденца, из них синих \(9 - 1 = 8\). \[\begin{aligned} &P(A \cap B \cap C) = \frac{9}{25} \cdot \frac{10}{24} \cdot \frac{8}{23} = {} \\ &= \frac{9 \cdot 10 \cdot 8}{25 \cdot 24 \cdot 23} = \frac{6}{115}. \end{aligned}\]
в) \(P(A) = \frac{6}{25}\) — зелёных леденцов 6 из 25.
\({P(B \mid A)} = \frac{10}{24}\) — если Таня получила зелёный леденец, осталось 24 леденца, из них 10 красных.
\({P(C \mid A \cap B)} = \frac{9}{23}\) — если затем Ваня получил красный, осталось 23 леденца, из них 9 синих. \[\begin{aligned} &P(A \cap B \cap C) = \frac{6}{25} \cdot \frac{10}{24} \cdot \frac{9}{23} = {} \\ &= \frac{6 \cdot 10 \cdot 9}{25 \cdot 24 \cdot 23} = \frac{9}{230}. \end{aligned}\]
г) \(P(A) = \frac{10}{25}\) — красных леденцов 10 из 25.
\({P(B \mid A)} = \frac{9}{24}\) — если Таня получила красный леденец, осталось 24 леденца, из них 9 красных.
\({P(C \mid A \cap B)} = \frac{8}{23}\) — если и Ваня получил красный, осталось 23 леденца, из них 8 красных. \[\begin{aligned} &P(A \cap B \cap C) = \frac{10}{25} \cdot \frac{9}{24} \cdot \frac{8}{23} = {} \\ &= \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{25 \cdot 24 \cdot 23} = \frac{6}{115}. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(\frac{1}{46}\); б) \(\frac{6}{115}\); в) \(\frac{9}{230}\); г) \(\frac{6}{115}\).
На кассе в магазине продаются леденцы. В какой-то момент в коробке осталось 10 красных, 9 синих и 6 зелёных леденцов. Таня, Ваня и Маня по очереди покупают по одному леденцу. Кассир не глядя достаёт леденцы из коробки. Найдите вероятность того, что: а) Таня и Ваня получат зелёные, а Маня — красный леденец; б) Таня и Маня получат синие леденцы, а Ваня — красный; в) Таня получит зелёный леденец, Ваня — красный, а Маня — синий; г) все трое получат красные леденцы.
В коробке \(10 + 9 + 6 = 25\) леденцов. Кассир достаёт леденцы не глядя, поэтому вероятность достать леденец некоторого цвета равна доле таких леденцов среди тех, что лежат в коробке. В каждом пункте обозначим события: \(A\) — «Таня получит леденец названного цвета», \(B\) — «Ваня получит леденец названного цвета», \(C\) — «Маня получит леденец названного цвета». Нужно найти вероятность того, что произойдут все три события, то есть вероятность события \(A \cap B \cap C\). Применим правило умножения вероятностей к событиям \(A \cap B\) и \(C\), а затем к событиям \(A\) и \(B\): \[\begin{aligned} &P(A \cap B \cap C) = P(A \cap B) \cdot P(C \mid A \cap B) = {} \\ &= P(A) \cdot P(B \mid A) \cdot P(C \mid A \cap B). \end{aligned}\]
Каждую условную вероятность находим по леденцам, которые остались в коробке, когда предыдущие события уже произошли.
а) Зелёных леденцов 6 из 25, поэтому \(P(A) = \frac{6}{25}\). Если Таня получила зелёный леденец, в коробке осталось 24 леденца, из них 5 зелёных: \({P(B \mid A)} = \frac{5}{24}\). Если и Ваня получил зелёный, осталось 23 леденца, из них 10 красных: \({P(C \mid A \cap B)} = \frac{10}{23}\). Значит, \[\begin{aligned} &P(A \cap B \cap C) = \frac{6}{25} \cdot \frac{5}{24} \cdot \frac{10}{23} = {} \\ &= \frac{6 \cdot 5 \cdot 10}{25 \cdot 24 \cdot 23} = \frac{1}{46}. \end{aligned}\]
б) Синих леденцов 9 из 25, поэтому \(P(A) = \frac{9}{25}\). Если Таня получила синий леденец, осталось 24 леденца, из них 10 красных: \({P(B \mid A)} = \frac{10}{24}\). Если затем Ваня получил красный, осталось 23 леденца, из них синих \(9 - 1 = 8\): \({P(C \mid A \cap B)} = \frac{8}{23}\). Значит, \[\begin{aligned} &P(A \cap B \cap C) = \frac{9}{25} \cdot \frac{10}{24} \cdot \frac{8}{23} = {} \\ &= \frac{9 \cdot 10 \cdot 8}{25 \cdot 24 \cdot 23} = \frac{6}{115}. \end{aligned}\]
в) Зелёных леденцов 6 из 25, поэтому \(P(A) = \frac{6}{25}\). Если Таня получила зелёный леденец, осталось 24 леденца, из них 10 красных: \({P(B \mid A)} = \frac{10}{24}\). Если затем Ваня получил красный, осталось 23 леденца, из них 9 синих: \({P(C \mid A \cap B)} = \frac{9}{23}\). Значит, \[\begin{aligned} &P(A \cap B \cap C) = \frac{6}{25} \cdot \frac{10}{24} \cdot \frac{9}{23} = {} \\ &= \frac{6 \cdot 10 \cdot 9}{25 \cdot 24 \cdot 23} = \frac{9}{230}. \end{aligned}\]
г) Красных леденцов 10 из 25, поэтому \(P(A) = \frac{10}{25}\). Если Таня получила красный леденец, осталось 24 леденца, из них 9 красных: \({P(B \mid A)} = \frac{9}{24}\). Если и Ваня получил красный, осталось 23 леденца, из них 8 красных: \({P(C \mid A \cap B)} = \frac{8}{23}\). Значит, \[\begin{aligned} &P(A \cap B \cap C) = \frac{10}{25} \cdot \frac{9}{24} \cdot \frac{8}{23} = {} \\ &= \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{25 \cdot 24 \cdot 23} = \frac{6}{115}. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(\frac{1}{46}\); б) \(\frac{6}{115}\); в) \(\frac{9}{230}\); г) \(\frac{6}{115}\).
