Страница 54 номер 149, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
На рисунке 67 изображено дерево некоторого случайного опыта и событие \(A\). Рёбра проведены пунктиром. Известно, что из каждой точки возможные переходы к следующим событиям равновероятны. а) Перерисуйте дерево в тетрадь и подпишите около рёбер соответствующие вероятности. б) Обведите сплошной линией цепочки, благоприятствующие событию \(A\). в) Найдите вероятность события \(A\).
Обозначим промежуточные вершины буквами \(K\), \(L\), \(M\), а конечные — \(a\), \(b\), …, \(f\): из \(S\) выходят рёбра к вершинам \(K\) (левая) и \(M\) (правая); из вершины \(K\) — к промежуточной вершине \(L\) и к конечной вершине \(a\); из вершины \(L\) — к конечным вершинам \(b\) и \(c\); из вершины \(M\) — к конечным вершинам \(d\), \(e\) и \(f\). В овал \(A\) входят конечные вершины \(a\), \(b\) и \(d\).
а) Переходы из каждой вершины равновероятны: из вершин \(S\), \(K\) и \(L\) выходит по два ребра — около каждого \(\frac{1}{2}\); из вершины \(M\) выходят три ребра — около каждого \(\frac{1}{3}\):
б) Событию \(A\) благоприятствуют элементарные события \(a\), \(b\) и \(d\); их изображают цепи \(SKa\), \(SKLb\) и \(SMd\). Обведём эти цепи сплошной линией:
в) \[\begin{aligned} P(SKa) &= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}; \\ P(SKLb) &= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}; \\ P(SMd) &= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}. \end{aligned}\] Вероятность события \(A\) равна сумме вероятностей цепей, ведущих к нему: \[\begin{aligned} &P(A) = P(SKa) + P(SKLb) + P(SMd) = {} \\ &= \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{6} = \frac{6 + 3 + 4}{24} = \frac{13}{24}. \end{aligned}\]
Ответ: в) \(P(A) = \frac{13}{24}\).
На рисунке 67 изображено дерево некоторого случайного опыта и событие \(A\). Рёбра проведены пунктиром. Известно, что из каждой точки возможные переходы к следующим событиям равновероятны. а) Перерисуйте дерево в тетрадь и подпишите около рёбер соответствующие вероятности. б) Обведите сплошной линией цепочки, благоприятствующие событию \(A\). в) Найдите вероятность события \(A\).
Обозначим промежуточные вершины буквами \(K\), \(L\), \(M\), а конечные — \(a\), \(b\), …, \(f\): из \(S\) выходят рёбра к вершинам \(K\) (левая) и \(M\) (правая); из вершины \(K\) — к промежуточной вершине \(L\) и к конечной вершине \(a\); из вершины \(L\) — к конечным вершинам \(b\) и \(c\); из вершины \(M\) — к конечным вершинам \(d\), \(e\) и \(f\). В овал \(A\) входят конечные вершины \(a\), \(b\) и \(d\).
а) Переходы из каждой вершины равновероятны. Из вершин \(S\), \(K\) и \(L\) выходит по два ребра — около каждого пишем \(\frac{1}{2}\); из вершины \(M\) выходят три ребра — около каждого пишем \(\frac{1}{3}\):
б) Событию \(A\) благоприятствуют элементарные события \(a\), \(b\) и \(d\); их изображают цепи \(SKa\), \(SKLb\) и \(SMd\). Обведём эти цепи сплошной линией:
в) Вероятность цепи равна произведению вероятностей около её рёбер: \[\begin{aligned} P(SKa) &= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}; \\ P(SKLb) &= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}; \\ P(SMd) &= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}. \end{aligned}\] Вероятность события \(A\) равна сумме вероятностей цепей, ведущих к нему: \[\begin{aligned} &P(A) = P(SKa) + P(SKLb) + P(SMd) = {} \\ &= \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{6} = \frac{6 + 3 + 4}{24} = \frac{13}{24}. \end{aligned}\]
Ответ: в) \(P(A) = \frac{13}{24}\).
