Страница 54 номер 150, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
На рисунке 68 изображено дерево некоторого случайного опыта и показаны события \(A\) и \(B\). Рёбра проведены пунктиром. Известно, что рёбра, исходящие из одной вершины, равновероятны. а) Постройте это дерево в своей тетради. Обведите сплошной линией цепочки, благоприятствующие событию \(A\). Другим цветом обведите цепочки, благоприятствующие событию \(B\). б) Найдите вероятность события \(A\). в) Найдите вероятность события \(B\).
Средняя развилка без точки — тоже вершина дерева: из неё выходят три ребра. Обозначим промежуточные вершины буквами \(K\) (средняя) и \(M\) (правая), а конечные — \(a\), \(b\), …, \(f\): из \(S\) выходят рёбра к конечной вершине \(a\) и к вершинам \(K\) и \(M\); из вершины \(K\) — к конечным вершинам \(b\), \(c\) и \(d\); из вершины \(M\) — к конечным вершинам \(e\) и \(f\). В овал \(B\) входят вершины \(a\) и \(b\), в овал \(A\) — вершины \(d\) и \(e\).
а) Событию \(A\) благоприятствуют цепи \(SKd\) и \(SMe\), событию \(B\) — цепи \(Sa\) и \(SKb\). Построим дерево, цепи события \(A\) обведём сплошной малиновой линией, а цепи события \(B\) — синей:
б) Рёбра, выходящие из одной вершины, равновероятны: из вершин \(S\) и \(K\) выходит по три ребра, около каждого — \(\frac{1}{3}\); из вершины \(M\) — два ребра, около каждого — \(\frac{1}{2}\). \[\begin{aligned} &P(A) = P(SKd) + P(SMe) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = {} \\ &= \frac{1}{9} + \frac{1}{6} = \frac{2 + 3}{18} = \frac{5}{18}. \end{aligned}\]
в) \[P(B) = P(Sa) + P(SKb) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3} + \frac{1}{9} = \frac{4}{9}.\]
Ответ: б) \(P(A) = \frac{5}{18}\); в) \(P(B) = \frac{4}{9}\).
На рисунке 68 изображено дерево некоторого случайного опыта и показаны события \(A\) и \(B\). Рёбра проведены пунктиром. Известно, что рёбра, исходящие из одной вершины, равновероятны. а) Постройте это дерево в своей тетради. Обведите сплошной линией цепочки, благоприятствующие событию \(A\). Другим цветом обведите цепочки, благоприятствующие событию \(B\). б) Найдите вероятность события \(A\). в) Найдите вероятность события \(B\).
Средняя развилка без точки — тоже вершина дерева: из неё выходят три ребра. Обозначим промежуточные вершины буквами \(K\) (средняя) и \(M\) (правая), а конечные — \(a\), \(b\), …, \(f\): из \(S\) выходят рёбра к конечной вершине \(a\) и к вершинам \(K\) и \(M\); из вершины \(K\) — к конечным вершинам \(b\), \(c\) и \(d\); из вершины \(M\) — к конечным вершинам \(e\) и \(f\). В овал \(B\) входят вершины \(a\) и \(b\), в овал \(A\) — вершины \(d\) и \(e\).
а) Событию \(A\) благоприятствуют цепи \(SKd\) и \(SMe\), событию \(B\) — цепи \(Sa\) и \(SKb\). Построим дерево, цепи события \(A\) обведём сплошной малиновой линией, а цепи события \(B\) — синей:
б) Рёбра, выходящие из одной вершины, равновероятны: из вершин \(S\) и \(K\) выходит по три ребра, около каждого — \(\frac{1}{3}\); из вершины \(M\) — два ребра, около каждого — \(\frac{1}{2}\). Вероятность события \(A\) равна сумме вероятностей его цепей: \[\begin{aligned} &P(A) = P(SKd) + P(SMe) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = {} \\ &= \frac{1}{9} + \frac{1}{6} = \frac{2 + 3}{18} = \frac{5}{18}. \end{aligned}\]
в) Вероятность события \(B\) равна сумме вероятностей его цепей: \[P(B) = P(Sa) + P(SKb) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3} + \frac{1}{9} = \frac{4}{9}.\]
Ответ: б) \(P(A) = \frac{5}{18}\); в) \(P(B) = \frac{4}{9}\).
