Страница 51 номер 143, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Найдите вероятность получить \(n\) разных результатов, бросив игральную кость \(n\) раз, если: а) \(n = 3\); б) \(n = 4\); в) \(n = 5\); г) \(n = 6\); д) \(n = 7\).
\(A\) — событие «все \(n\) результатов разные».
Второй бросок даёт результат, отличный от первого, если выпадет одно из 5 чисел очков, которых ещё не было, — вероятность \(\frac{5}{6}\).
При условии, что первые два результата разные, третий бросок даёт новый результат, если выпадет одно из 4 таких чисел, — условная вероятность \(\frac{4}{6}\).
Так же при условии, что все предыдущие результаты разные, четвёртый бросок даёт новый результат с вероятностью \(\frac{3}{6}\), пятый — \(\frac{2}{6}\), шестой — \(\frac{1}{6}\).
Событие «первые три результата разные» — пересечение событий «первые два результата разные» и «третий бросок даёт новый результат», поэтому по правилу умножения вероятностей его вероятность равна \(\frac{5}{6} \cdot \frac{4}{6}\). Применяя правило так же к четвёртому, пятому и шестому броскам, получаем: вероятность события \(A\) равна произведению этих вероятностей для бросков со второго по \(n\)-й.
а) При \(n = 3\) \[P(A) = \frac{5}{6} \cdot \frac{4}{6} = \frac{20}{36} = \frac{5}{9}.\]
б) При \(n = 4\) \[P(A) = \frac{5}{6} \cdot \frac{4}{6} \cdot \frac{3}{6} = \frac{60}{216} = \frac{5}{18}.\]
в) При \(n = 5\) \[P(A) = \frac{5}{6} \cdot \frac{4}{6} \cdot \frac{3}{6} \cdot \frac{2}{6} = \frac{120}{1296} = \frac{5}{54}.\]
г) При \(n = 6\) \[P(A) = \frac{5}{6} \cdot \frac{4}{6} \cdot \frac{3}{6} \cdot \frac{2}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{120}{7776} = \frac{5}{324}.\]
д) При \(n = 7\) семь результатов не могут быть разными: у игральной кости только 6 разных чисел очков. Событие \(A\) невозможно, \(P(A) = 0\).
Ответ: а) \(\frac{5}{9}\); б) \(\frac{5}{18}\); в) \(\frac{5}{54}\); г) \(\frac{5}{324}\); д) 0.
Найдите вероятность получить \(n\) разных результатов, бросив игральную кость \(n\) раз, если: а) \(n = 3\); б) \(n = 4\); в) \(n = 5\); г) \(n = 6\); д) \(n = 7\).
Обозначим \(A\) — событие «все \(n\) результатов разные». Второй бросок даёт результат, отличный от первого, если выпадет одно из 5 чисел очков, которых ещё не было, — вероятность \(\frac{5}{6}\). При условии, что первые два результата разные, третий бросок даёт новый результат, если выпадет одно из 4 чисел очков, которых ещё не было, — условная вероятность \(\frac{4}{6}\). Так же при условии, что все предыдущие результаты разные, четвёртый бросок даёт новый результат с вероятностью \(\frac{3}{6}\), пятый — с вероятностью \(\frac{2}{6}\), шестой — с вероятностью \(\frac{1}{6}\). Событие «первые три результата разные» — пересечение событий «первые два результата разные» и «третий бросок даёт новый результат», поэтому по правилу умножения вероятностей его вероятность равна \(\frac{5}{6} \cdot \frac{4}{6}\). Применяя правило так же к четвёртому, пятому и шестому броскам, получаем: вероятность события \(A\) равна произведению этих вероятностей для бросков со второго по \(n\)-й.
а) При \(n = 3\) \[P(A) = \frac{5}{6} \cdot \frac{4}{6} = \frac{20}{36} = \frac{5}{9}.\]
б) При \(n = 4\) \[P(A) = \frac{5}{6} \cdot \frac{4}{6} \cdot \frac{3}{6} = \frac{60}{216} = \frac{5}{18}.\]
в) При \(n = 5\) \[P(A) = \frac{5}{6} \cdot \frac{4}{6} \cdot \frac{3}{6} \cdot \frac{2}{6} = \frac{120}{1296} = \frac{5}{54}.\]
г) При \(n = 6\) \[P(A) = \frac{5}{6} \cdot \frac{4}{6} \cdot \frac{3}{6} \cdot \frac{2}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{120}{7776} = \frac{5}{324}.\]
д) При \(n = 7\) семь результатов не могут быть разными: у игральной кости только 6 разных чисел очков. Событие \(A\) невозможно, \(P(A) = 0\).
Ответ: а) \(\frac{5}{9}\); б) \(\frac{5}{18}\); в) \(\frac{5}{54}\); г) \(\frac{5}{324}\); д) 0.
