Страница 56 номер 157, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
В торговом центре рядом друг с другом установлены два автомата, продающие кофе в стаканчиках. Вероятность того, что к концу дня кофе закончится в первом автомате, равна 0,2. Если это случилось, то нагрузка на второй автомат растёт, и кофе может закончиться в нём с вероятностью 0,8. Найдите вероятность того, что: а) к концу дня в обоих автоматах закончится кофе; б) к концу дня кофе закончится только в первом автомате. Указание. Найдите сначала условную вероятность того, что кофе во втором автомате не закончится.
Обозначим события: \(A\) = {кофе закончился в первом автомате}, \(B\) = {кофе закончился во втором автомате}. По условию \(P(A) = 0{,}2\), а \(0{,}8\) — условная вероятность события \(B\) при условии \(A\): \({P(B \mid A)} = 0{,}8\).
В дереве этого опыта из вершины \(A\) выходят рёбра к вершинам \(B\) и \(\overline{B}\), сумма вероятностей около них равна 1, поэтому \[P(\overline{B} \mid A) = 1 - P(B \mid A) = 1 - 0{,}8 = 0{,}2.\]
а) Кофе закончится в обоих автоматах — это событие \(A \cap B\), его изображает цепь \(SAB\): \[P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A) = 0{,}2 \cdot 0{,}8 = 0{,}16.\]
б) Кофе закончится только в первом автомате — это событие \(A \cap \overline{B}\), его изображает цепь \(SA\overline{B}\): \[P(A \cap \overline{B}) = P(A) \cdot P(\overline{B} \mid A) = 0{,}2 \cdot 0{,}2 = 0{,}04.\]
Ответ: а) \(0{,}16\); б) \(0{,}04\).
В торговом центре рядом друг с другом установлены два автомата, продающие кофе в стаканчиках. Вероятность того, что к концу дня кофе закончится в первом автомате, равна 0,2. Если это случилось, то нагрузка на второй автомат растёт, и кофе может закончиться в нём с вероятностью 0,8. Найдите вероятность того, что: а) к концу дня в обоих автоматах закончится кофе; б) к концу дня кофе закончится только в первом автомате. Указание. Найдите сначала условную вероятность того, что кофе во втором автомате не закончится.
Обозначим события: \(A\) = {кофе закончился в первом автомате}, \(B\) = {кофе закончился во втором автомате}. По условию \(P(A) = 0{,}2\), а \(0{,}8\) — условная вероятность события \(B\) при условии \(A\): \({P(B \mid A)} = 0{,}8\).
В дереве этого опыта из вершины \(A\) выходят рёбра к вершинам \(B\) и \(\overline{B}\), сумма вероятностей около них равна 1. Поэтому условная вероятность того, что кофе во втором автомате не закончится, если он закончился в первом, равна \[P(\overline{B} \mid A) = 1 - P(B \mid A) = 1 - 0{,}8 = 0{,}2.\]
а) Кофе закончится в обоих автоматах — это событие \(A \cap B\), его изображает цепь \(SAB\). По правилу умножения вероятностей \[P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A) = 0{,}2 \cdot 0{,}8 = 0{,}16.\]
б) Кофе закончится только в первом автомате — это событие \(A \cap \overline{B}\), его изображает цепь \(SA\overline{B}\): \[P(A \cap \overline{B}) = P(A) \cdot P(\overline{B} \mid A) = 0{,}2 \cdot 0{,}2 = 0{,}04.\]
Ответ: а) \(0{,}16\); б) \(0{,}04\).
