Страница 56 номер 158, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень

Обозначим мальчика буквой М, девочку — буквой Д и будем записывать детей по старшинству: первая буква — старший ребёнок, вторая — младший. Рождение мальчика и девочки равновозможны, поэтому в дереве этого опыта около каждого ребра стоит вероятность \(\frac{1}{2}\), а каждая из четырёх цепей \(S\)ММ, \(S\)МД, \(S\)ДМ и \(S\)ДД имеет вероятность \(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\). Исходы МД и ДМ разные: в первом мальчик старший, во втором — младший.

Пусть \(B\) — «среди детей есть мальчик». Ему благоприятствуют цепи \(S\)ММ, \(S\)МД и \(S\)ДМ, то есть \(B = \{\text{ММ}, \text{МД}, \text{ДМ}\}\): \[P(B) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}.\] Второй ребёнок — это другой из двух детей, не тот мальчик, о котором известно. Он тоже мальчик, если оба ребёнка — мальчики: это событие \(A = \{\text{ММ}\}\). Событие \(A\) содержится в событии \(B\), поэтому \(A \cap B = A\) и \({P(A \cap B)} = \frac{1}{4}\). Известно, что событие \(B\) произошло, поэтому нужна условная вероятность события \(A\) при условии \(B\): \[P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1}{4} : \frac{3}{4} = \frac{1}{3}.\] Из трёх равновозможных исходов, в которых есть мальчик, оба ребёнка — мальчики только в одном.

Если «вторым» считать младшего ребёнка, то вероятность того, что он мальчик, равна \(\frac{2}{3}\): из трёх равновозможных исходов, в которых есть мальчик, младший ребёнок — мальчик в двух.

Ответ: \(\frac{1}{3}\); если второй ребёнок — младший, то \(\frac{2}{3}\).