Страница 55 номер 151, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Сергей Петрович гуляет по своему посёлку. Схема дорожек показана на рисунке 69. Он начинает прогулку в точке \(S\) и на каждой развилке с равными шансами выбирает любую из дорожек (но не возвращается). Найдите вероятность того, что Сергей Петрович в конце концов придёт: а) на школьный двор; б) к ферме; в) на луг; г) к ферме или к колодцу.
Схема дорожек — дерево случайного опыта: точка \(S\) — начальная вершина, развилки — промежуточные вершины, точки, где прогулка заканчивается, — конечные. Обозначим развилки буквами: \(K\) — первая, \(L\) — верхняя, \(M\) — правая, \(T\) — нижняя, \(N\) — излом дорожки за развилкой \(M\): в нём дорожка раздваивается, поэтому это тоже развилка. Из \(S\) ведёт единственная дорожка — на развилку \(K\), около этого ребра вероятность 1. На развилках \(K\), \(M\) и \(T\), не считая дорожки, по которой Сергей Петрович пришёл, по три дорожки — около каждого ребра \(\frac{1}{3}\); на развилках \(L\) и \(N\) — по две, около каждого ребра \(\frac{1}{2}\). Изобразим схему деревом с этими обозначениями:
Обозначим события: \(A\) — «Сергей Петрович придёт на школьный двор», \(B\) — «придёт к ферме», \(C\) — «придёт на луг», \(D\) — «придёт к колодцу».
а) На школьный двор ведут две цепи: через развилки \(K\), \(M\) и через развилки \(K\), \(M\), \(N\): \[\begin{aligned} &P(A) = 1 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} + 1 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = {} \\ &= \frac{1}{9} + \frac{1}{18} = \frac{2 + 1}{18} = \frac{1}{6}. \end{aligned}\]
б) К ферме ведут две цепи: через развилки \(K\), \(M\), \(N\) и через развилки \(K\), \(T\): \[\begin{aligned} &P(B) = 1 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = {} \\ &= \frac{1}{18} + \frac{1}{9} = \frac{1 + 2}{18} = \frac{1}{6}. \end{aligned}\]
в) На луг ведут две цепи: через развилки \(K\), \(L\) и через развилки \(K\), \(M\): \[\begin{aligned} &P(C) = 1 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = {} \\ &= \frac{1}{6} + \frac{1}{9} = \frac{3 + 2}{18} = \frac{5}{18}. \end{aligned}\]
г) К колодцу ведёт одна цепь — через развилки \(K\) и \(T\): \(P(D) = 1 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9}\).
Прийти и к ферме, и к колодцу нельзя, поэтому события \(B\) и \(D\) несовместны и \[P(B \cup D) = P(B) + P(D) = \frac{1}{6} + \frac{1}{9} = \frac{3 + 2}{18} = \frac{5}{18}.\]
Ответ: а) \(\frac{1}{6}\); б) \(\frac{1}{6}\); в) \(\frac{5}{18}\); г) \(\frac{5}{18}\).
Сергей Петрович гуляет по своему посёлку. Схема дорожек показана на рисунке 69. Он начинает прогулку в точке \(S\) и на каждой развилке с равными шансами выбирает любую из дорожек (но не возвращается). Найдите вероятность того, что Сергей Петрович в конце концов придёт: а) на школьный двор; б) к ферме; в) на луг; г) к ферме или к колодцу.
Схема дорожек — дерево случайного опыта: точка \(S\) — начальная вершина, развилки — промежуточные вершины, точки, где прогулка заканчивается, — конечные. Обозначим развилки буквами: \(K\) — первая, \(L\) — верхняя, \(M\) — правая, \(T\) — нижняя, \(N\) — излом дорожки за развилкой \(M\): в нём дорожка раздваивается, поэтому это тоже развилка. Из \(S\) ведёт единственная дорожка — на развилку \(K\), около этого ребра вероятность 1. На развилках \(K\), \(M\) и \(T\), не считая дорожки, по которой Сергей Петрович пришёл, по три дорожки — около каждого ребра \(\frac{1}{3}\); на развилках \(L\) и \(N\) — по две, около каждого ребра \(\frac{1}{2}\). Изобразим схему деревом с этими обозначениями:
Обозначим события: \(A\) — «Сергей Петрович придёт на школьный двор», \(B\) — «придёт к ферме», \(C\) — «придёт на луг», \(D\) — «придёт к колодцу». Вероятность каждого из них равна сумме вероятностей цепей, ведущих к нему.
а) На школьный двор ведут две цепи: через развилки \(K\), \(M\) и через развилки \(K\), \(M\), \(N\): \[\begin{aligned} &P(A) = 1 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} + 1 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = {} \\ &= \frac{1}{9} + \frac{1}{18} = \frac{2 + 1}{18} = \frac{1}{6}. \end{aligned}\]
б) К ферме ведут две цепи: через развилки \(K\), \(M\), \(N\) и через развилки \(K\), \(T\): \[\begin{aligned} &P(B) = 1 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = {} \\ &= \frac{1}{18} + \frac{1}{9} = \frac{1 + 2}{18} = \frac{1}{6}. \end{aligned}\]
в) На луг ведут две цепи: через развилки \(K\), \(L\) и через развилки \(K\), \(M\): \[\begin{aligned} &P(C) = 1 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = {} \\ &= \frac{1}{6} + \frac{1}{9} = \frac{3 + 2}{18} = \frac{5}{18}. \end{aligned}\]
г) К колодцу ведёт одна цепь — через развилки \(K\) и \(T\): \(P(D) = 1 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9}\). Прийти и к ферме, и к колодцу нельзя, поэтому события \(B\) и \(D\) несовместны и \[P(B \cup D) = P(B) + P(D) = \frac{1}{6} + \frac{1}{9} = \frac{3 + 2}{18} = \frac{5}{18}.\]
Ответ: а) \(\frac{1}{6}\); б) \(\frac{1}{6}\); в) \(\frac{5}{18}\); г) \(\frac{5}{18}\).
