Страница 51 номер 144, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
В ящике 20 левых и 20 правых перчаток. Сколько нужно достать перчаток, не глядя в ящик, чтобы среди вынутых перчаток нашлась хотя бы одна левая и хотя бы одна правая перчатка: а) наверняка (с вероятностью 1); б) с вероятностью не меньше чем 0,95?
Перчатки достают по одной. \(A\) — «среди вынутых перчаток есть хотя бы одна левая и хотя бы одна правая», противоположное ему \(\overline{A}\) — «все вынутые перчатки одной руки», то есть все левые или все правые.
а) Среди 21 вынутой перчатки левых не больше 20 и правых не больше 20, поэтому есть хотя бы одна правая и хотя бы одна левая: событие \(A\) происходит при любом исходе, \(P(A) = 1\).
Если же вынуть 20 перчаток или меньше, все они могут оказаться левыми. Событие «первые две перчатки левые» — пересечение событий «первая перчатка левая» и «вторая перчатка левая», событие «первые три перчатки левые» — пересечение событий «первые две перчатки левые» и «третья перчатка левая», и так далее. Применяя к ним правило умножения вероятностей, находим вероятность того, что все вынутые перчатки левые: это произведение положительных множителей — первая перчатка левая с вероятностью \(\frac{20}{40}\), при этом условии вторая левая с вероятностью \(\frac{19}{39}\) и так далее. Тогда \(P(\overline{A}) > 0\) и \(P(A) < 1\). Значит, нужно достать 21 перчатку.
б) Пусть вынуто \(k\) перчаток, \(C\) — «все они левые», \(D\) — «все они правые»: \(\overline{A} = C \cup D\), события \(C\) и \(D\) несовместны, а левых и правых перчаток поровну, поэтому \(P(D) = P(C)\) и \[P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - (P(C) + P(D)) = 1 - 2 \cdot P(C).\]
Вероятность события \(C\) находим так же, как в пункте а), — правилом умножения вероятностей, применённым несколько раз: каждый следующий множитель — вероятность достать левую перчатку при условии, что все вынутые до неё перчатки левые.
При \(k = 4\) \[\begin{aligned} P(C) &= \frac{20}{40} \cdot \frac{19}{39} \cdot \frac{18}{38} \cdot \frac{17}{37} = \frac{51}{962}; \\ P(A) &= 1 - 2 \cdot \frac{51}{962} = \frac{430}{481} \approx 0{,}894. \end{aligned}\]
Это меньше 0,95: четырёх перчаток мало.
При \(k = 5\) к произведению добавляется множитель \(\frac{16}{36}\): \[\begin{aligned} P(C) &= \frac{51}{962} \cdot \frac{16}{36} = \frac{34}{1443}; \\ P(A) &= 1 - 2 \cdot \frac{34}{1443} = \frac{1375}{1443} \approx 0{,}953. \end{aligned}\]
Это больше 0,95: \(0{,}95 \cdot 1443 = 1370{,}85 < 1375\).
Если среди первых \(k\) вынутых перчаток уже есть и левая, и правая, то они есть и среди первых \(k + 1\), поэтому с ростом числа вынутых перчаток вероятность события \(A\) не уменьшается. Значит, при четырёх перчатках и меньше она меньше 0,95, а при пяти и больше — не меньше 0,95: нужно достать 5 перчаток.
Ответ: а) 21 перчатку; б) 5 перчаток.
В ящике 20 левых и 20 правых перчаток. Сколько нужно достать перчаток, не глядя в ящик, чтобы среди вынутых перчаток нашлась хотя бы одна левая и хотя бы одна правая перчатка: а) наверняка (с вероятностью 1); б) с вероятностью не меньше чем 0,95?
Перчатки достают из ящика по одной. Обозначим \(A\) — событие «среди вынутых перчаток есть хотя бы одна левая и хотя бы одна правая». Противоположное ему событие \(\overline{A}\) — «все вынутые перчатки одной руки», то есть все левые или все правые.
а) Если вынуть 21 перчатку, то левых среди них не больше 20, поэтому есть хотя бы одна правая; правых тоже не больше 20, поэтому есть хотя бы одна левая. Событие \(A\) происходит при любом исходе, \(P(A) = 1\). Если же вынуть 20 перчаток или меньше, то все они могут оказаться левыми. Событие «первые две перчатки левые» — пересечение событий «первая перчатка левая» и «вторая перчатка левая», событие «первые три перчатки левые» — пересечение событий «первые две перчатки левые» и «третья перчатка левая», и так далее. Применяя к ним правило умножения вероятностей, находим вероятность того, что все вынутые перчатки левые: это произведение положительных множителей — первая перчатка левая с вероятностью \(\frac{20}{40}\), при этом условии вторая левая с вероятностью \(\frac{19}{39}\) и так далее. Тогда \(P(\overline{A}) > 0\) и \(P(A) < 1\). Значит, нужно достать 21 перчатку.
б) Пусть вынуто \(k\) перчаток, \(C\) — событие «все они левые», \(D\) — «все они правые». Тогда \(\overline{A} = C \cup D\), события \(C\) и \(D\) несовместны, а левых и правых перчаток поровну, поэтому \(P(D) = P(C)\) и \[P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - (P(C) + P(D)) = 1 - 2 \cdot P(C).\]
Вероятность события \(C\) находим так же, как в пункте а), — правилом умножения вероятностей, применённым несколько раз: каждый следующий множитель — вероятность достать левую перчатку при условии, что все вынутые до неё перчатки левые.
При \(k = 4\) \[\begin{aligned} P(C) &= \frac{20}{40} \cdot \frac{19}{39} \cdot \frac{18}{38} \cdot \frac{17}{37} = \frac{51}{962}; \\ P(A) &= 1 - 2 \cdot \frac{51}{962} = \frac{430}{481} \approx 0{,}894. \end{aligned}\]
Это меньше 0,95: четырёх перчаток мало.
При \(k = 5\) к произведению добавляется множитель \(\frac{16}{36}\): \[\begin{aligned} P(C) &= \frac{51}{962} \cdot \frac{16}{36} = \frac{34}{1443}; \\ P(A) &= 1 - 2 \cdot \frac{34}{1443} = \frac{1375}{1443} \approx 0{,}953. \end{aligned}\]
Это больше 0,95: \(0{,}95 \cdot 1443 = 1370{,}85 < 1375\).
Если среди первых \(k\) вынутых перчаток уже есть и левая, и правая, то они есть и среди первых \(k + 1\) перчаток, поэтому с ростом числа вынутых перчаток вероятность события \(A\) не уменьшается. Значит, при четырёх перчатках и меньше она меньше 0,95, а при пяти и больше — не меньше 0,95: нужно достать 5 перчаток.
Ответ: а) 21 перчатку; б) 5 перчаток.
