Вопросы после параграфа §69 на странице 50, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Высоцкого часть 2
Условную вероятность события \(C\) при условии \(B\) обозначают \({P(C \mid B)}\): слева от вертикальной черты — событие, вероятность которого находят, справа — условие.
Ответ: \({P(C \mid B)}\).
Исходы ОО, ОР, РО, РР (первая буква — первый бросок, вторая — второй; О — орёл, Р — решка) равновозможны, вероятность каждого — \(\frac{1}{4}\).
\(A\) — «выпадут два орла», \(B\) — «в первый раз выпадет решка».
Событию \(B\) благоприятствуют РО и РР: \(P(B) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\).
Событию \(A\) благоприятствует только ОО, а в нём в первый раз выпал орёл: \(A \cap B = \varnothing\), \({P(A \cap B)} = 0\). \[P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = 0 : \frac{1}{2} = 0.\]
Ответ: 0.
Исходы ОО, ОР, РО, РР (первая буква — первый бросок, вторая — второй; О — орёл, Р — решка) равновозможны, вероятность каждого — \(\frac{1}{4}\).
\(A\) — «выпадут два орла», \(C\) — «в первый раз выпадет орёл».
Событию \(C\) благоприятствуют ОО и ОР: \(P(C) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\).
Событию \(A\) благоприятствует только ОО, он благоприятствует и событию \(C\): \(A \cap C = \{\text{ОО}\}\), \({P(A \cap C)} = \frac{1}{4}\). \[P(A \mid C) = \frac{P(A \cap C)}{P(C)} = \frac{1}{4} : \frac{1}{2} = \frac{1}{2}.\]
Ответ: \(\frac{1}{2}\).
Например: монету бросают два раза, \(A\) — событие «выпадут два орла». Из четырёх равновозможных исходов ОО, ОР, РО, РР (первая буква — результат первого броска) событию \(A\) благоприятствует один: \(P(A) = \frac{1}{4}\).
Пусть произошло событие \(B\) — «в первый раз выпал орёл»: ему благоприятствуют ОО и ОР, \(P(B) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\).
Из них событию \(A\) благоприятствует только ОО: \(A \cap B = \{\text{ОО}\}\), \({P(A \cap B)} = \frac{1}{4}\).
\({P(A \mid B)} = \frac{1}{4} : \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\) — условная вероятность события \(A\) больше исходной: событие \(B\) её увеличило.
Пусть теперь произошло противоположное событие \(\overline{B}\) — «в первый раз выпала решка»: \(P(\overline{B}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\).
В единственном исходе ОО, который благоприятствует событию \(A\), в первый раз выпал орёл: \(A \cap \overline{B} = \varnothing\).
\({P(A \mid \overline{B})} = 0 : \frac{1}{2} = 0\) — условная вероятность события \(A\) меньше исходной.
Значит, произошедшее событие может как увеличить, так и уменьшить вероятность другого события.
Ответ: может и увеличить, и уменьшить; например, при двукратном бросании монеты вероятность того, что выпадут два орла, равна \(\frac{1}{4}\), при условии, что в первый раз выпал орёл, она равна \(\frac{1}{2}\), а при условии, что в первый раз выпала решка, — 0.
Условную вероятность события \(C\) при условии \(B\) обозначают \({P(C \mid B)}\): слева от вертикальной черты пишут событие, вероятность которого находят, справа — условие, то есть событие, которое произошло.
Ответ: \({P(C \mid B)}\).
Элементарные события опыта — ОО, ОР, РО, РР: первая буква — результат первого броска, вторая — второго (О — орёл, Р — решка). Они равновозможны, вероятность каждого из них равна \(\frac{1}{4}\). Обозначим события: \(A\) — «выпадут два орла», \(B\) — «в первый раз выпадет решка». Событию \(B\) благоприятствуют исходы РО и РР, поэтому \(P(B) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\). Событию \(A\) благоприятствует только исход ОО, а в нём в первый раз выпал орёл, поэтому \(A \cap B = \varnothing\) и \({P(A \cap B)} = 0\). По формуле условной вероятности \[P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = 0 : \frac{1}{2} = 0.\]
Ответ: 0.
Элементарные события опыта — ОО, ОР, РО, РР: первая буква — результат первого броска, вторая — второго (О — орёл, Р — решка). Они равновозможны, вероятность каждого из них равна \(\frac{1}{4}\). Обозначим события: \(A\) — «выпадут два орла», \(C\) — «в первый раз выпадет орёл». Событию \(C\) благоприятствуют исходы ОО и ОР, поэтому \(P(C) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\). Событию \(A\) благоприятствует только исход ОО, он благоприятствует и событию \(C\): \(A \cap C = \{\text{ОО}\}\), \({P(A \cap C)} = \frac{1}{4}\). По формуле условной вероятности \[P(A \mid C) = \frac{P(A \cap C)}{P(C)} = \frac{1}{4} : \frac{1}{2} = \frac{1}{2}.\]
Ответ: \(\frac{1}{2}\).
Например: монету бросают два раза, \(A\) — событие «выпадут два орла». Из четырёх равновозможных исходов ОО, ОР, РО, РР (первая буква — результат первого броска) событию \(A\) благоприятствует один, поэтому \(P(A) = \frac{1}{4}\).
Пусть произошло событие \(B\) — «в первый раз выпал орёл». Ему благоприятствуют исходы ОО и ОР, \(P(B) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\); из них событию \(A\) благоприятствует только ОО: \(A \cap B = \{\text{ОО}\}\), \({P(A \cap B)} = \frac{1}{4}\). Тогда \({P(A \mid B)} = \frac{1}{4} : \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\) — условная вероятность события \(A\) больше исходной: событие \(B\) её увеличило.
Пусть теперь произошло противоположное событие \(\overline{B}\) — «в первый раз выпала решка», \(P(\overline{B}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\). В единственном исходе ОО, который благоприятствует событию \(A\), в первый раз выпал орёл, поэтому \(A \cap \overline{B} = \varnothing\) и \({P(A \mid \overline{B})} = 0 : \frac{1}{2} = 0\) — условная вероятность события \(A\) меньше исходной.
Значит, произошедшее событие может как увеличить, так и уменьшить вероятность другого события.
Ответ: может и увеличить, и уменьшить; например, при двукратном бросании монеты вероятность того, что выпадут два орла, равна \(\frac{1}{4}\), при условии, что в первый раз выпал орёл, она равна \(\frac{1}{2}\), а при условии, что в первый раз выпала решка, — 0.
