Страница 44 номер 125, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Пользуясь диаграммой Эйлера для событий \(A\), \(B\) и \(C\), выведите формулу сложения вероятностей для трёх событий:
\[\begin{aligned} P(A \cup B \cup C) &= P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - {} \\ &- P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C). \end{aligned}\]
Изобразим события \(A\), \(B\) и \(C\) на диаграмме Эйлера тремя кругами внутри прямоугольника, который изображает все элементарные события опыта. Круги делят фигуру, изображающую событие \(A \cup B \cup C\), на семь частей. Каждая часть изображает событие; обозначим вероятности этих событий: \(p_1\) — наступило \(A\), но не наступили \(B\) и \(C\); \(p_2\) — наступило \(B\), но не наступили \(A\) и \(C\); \(p_3\) — наступило \(C\), но не наступили \(A\) и \(B\); \(p_4\) — наступили \(A\) и \(B\), но не \(C\); \(p_5\) — наступили \(A\) и \(C\), но не \(B\); \(p_6\) — наступили \(B\) и \(C\), но не \(A\); \(p_7\) — наступили все три события.
События, которые изображаются разными частями, несовместны: их фигуры не имеют общих точек. Поэтому по правилу сложения вероятностей несовместных событий вероятность события, которое составлено из нескольких частей, равна сумме вероятностей этих частей:
\[\begin{aligned} P(A \cup B \cup C) &= p_1 + p_2 + p_3 + p_4 + p_5 + p_6 + p_7, \\ P(A) &= p_1 + p_4 + p_5 + p_7, \\ P(B) &= p_2 + p_4 + p_6 + p_7, \\ P(C) &= p_3 + p_5 + p_6 + p_7, \\ P(A \cap B) &= p_4 + p_7, \\ P(A \cap C) &= p_5 + p_7, \\ P(B \cap C) &= p_6 + p_7, \\ P(A \cap B \cap C) &= p_7. \end{aligned}\]
\(P(A) + P(B) + P(C) = p_1 + p_2 + p_3 + 2p_4 + 2p_5 + 2p_6 + 3p_7\).
\({P(A \cap B)} + {P(A \cap C)} + {P(B \cap C)} = (p_4 + p_7) + (p_5 + p_7) + (p_6 + p_7) = p_4 + p_5 + p_6 + 3p_7\).
Вычтем вторую сумму из первой: \((p_1 + p_2 + p_3 + 2p_4 + 2p_5 + 2p_6 + 3p_7) - (p_4 + p_5 + p_6 + 3p_7) = p_1 + p_2 + p_3 + p_4 + p_5 + p_6\). Прибавим \({P(A \cap B \cap C)} = p_7\) и получим, что правая часть формулы равна
\[p_1 + p_2 + p_3 + p_4 + p_5 + p_6 + p_7 = P(A \cup B \cup C).\]
Значит, левая и правая части формулы равны при любых событиях \(A\), \(B\) и \(C\), и формула сложения вероятностей для трёх событий верна.
Ответ: для любых трёх событий \({P(A \cup B \cup C)} = P(A) + P(B) + P(C) - {P(A \cap B)} - {P(A \cap C)} - {P(B \cap C)} + {P(A \cap B \cap C)}\).
Пользуясь диаграммой Эйлера для событий \(A\), \(B\) и \(C\), выведите формулу сложения вероятностей для трёх событий:
\[\begin{aligned} P(A \cup B \cup C) &= P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - {} \\ &- P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C). \end{aligned}\]
Изобразим события \(A\), \(B\) и \(C\) на диаграмме Эйлера тремя кругами внутри прямоугольника, который изображает все элементарные события опыта. Круги делят фигуру, изображающую событие \(A \cup B \cup C\), на семь частей; никакие две части не имеют общих точек. Каждая часть изображает событие; обозначим вероятности этих событий: \(p_1\) — наступило \(A\), но не наступили \(B\) и \(C\); \(p_2\) — наступило \(B\), но не наступили \(A\) и \(C\); \(p_3\) — наступило \(C\), но не наступили \(A\) и \(B\); \(p_4\) — наступили \(A\) и \(B\), но не \(C\); \(p_5\) — наступили \(A\) и \(C\), но не \(B\); \(p_6\) — наступили \(B\) и \(C\), но не \(A\); \(p_7\) — наступили все три события.
События, которые изображаются разными частями, несовместны: их фигуры не имеют общих точек. Поэтому по правилу сложения вероятностей несовместных событий вероятность события, которое составлено из нескольких частей, равна сумме вероятностей этих частей:
\[\begin{aligned} P(A \cup B \cup C) &= p_1 + p_2 + p_3 + p_4 + p_5 + p_6 + p_7, \\ P(A) &= p_1 + p_4 + p_5 + p_7, \\ P(B) &= p_2 + p_4 + p_6 + p_7, \\ P(C) &= p_3 + p_5 + p_6 + p_7, \\ P(A \cap B) &= p_4 + p_7, \\ P(A \cap C) &= p_5 + p_7, \\ P(B \cap C) &= p_6 + p_7, \\ P(A \cap B \cap C) &= p_7. \end{aligned}\]
В сумму \(P(A) + P(B) + P(C)\) вероятности \(p_1\), \(p_2\), \(p_3\) входят по одному разу, \(p_4\), \(p_5\), \(p_6\) — по два раза, а \(p_7\) — три раза: \(P(A) + P(B) + P(C) = p_1 + p_2 + p_3 + 2p_4 + 2p_5 + 2p_6 + 3p_7\). Сумма вероятностей пересечений по два события: \({P(A \cap B)} + {P(A \cap C)} + {P(B \cap C)} = (p_4 + p_7) + (p_5 + p_7) + (p_6 + p_7) = p_4 + p_5 + p_6 + 3p_7\). Вычтем вторую сумму из первой: \((p_1 + p_2 + p_3 + 2p_4 + 2p_5 + 2p_6 + 3p_7) - (p_4 + p_5 + p_6 + 3p_7) = p_1 + p_2 + p_3 + p_4 + p_5 + p_6\). Прибавим \({P(A \cap B \cap C)} = p_7\) и получим, что правая часть формулы равна
\[p_1 + p_2 + p_3 + p_4 + p_5 + p_6 + p_7 = P(A \cup B \cup C).\]
Значит, левая и правая части формулы равны при любых событиях \(A\), \(B\) и \(C\), и формула сложения вероятностей для трёх событий верна.
Ответ: для любых трёх событий \({P(A \cup B \cup C)} = P(A) + P(B) + P(C) - {P(A \cap B)} - {P(A \cap C)} - {P(B \cap C)} + {P(A \cap B \cap C)}\).
