Страница 41 номер 115, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
С помощью диаграмм Эйлера докажите равенство: а) \(\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}\); б) \(\overline{A} \cup \overline{B} = \overline{A \cap B}\). Указание. Для доказательства нужно изобразить оба события на диаграмме Эйлера. Если изображения совпадают, то совпадают и события.
а) Левая часть равенства. Событие \(\overline{A}\) — часть прямоугольника вне круга \(A\), событие \(\overline{B}\) — часть прямоугольника вне круга \(B\). Их пересечение \(\overline{A} \cap \overline{B}\) — общая часть этих фигур, то есть часть прямоугольника вне обоих кругов.
Правая часть равенства. Событие \(A \cup B\) — фигура из обоих кругов, противоположное ему событие \(\overline{A \cup B}\) — остальная часть прямоугольника, то есть тоже часть прямоугольника вне обоих кругов.
Изобразим обе части равенства на диаграммах Эйлера:
Обе части равенства изображаются одной и той же фигурой — частью прямоугольника вне обоих кругов. Значит, события совпадают: \(\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}\).
б) Левая часть равенства. Событие \(\overline{A} \cup \overline{B}\) — фигура, состоящая из части прямоугольника вне круга \(A\) и части прямоугольника вне круга \(B\). Каждая точка прямоугольника вне общей части кругов лежит вне хотя бы одного из кругов и входит в эту фигуру, а общая часть кругов лежит в обоих кругах и в неё не входит. Значит, \(\overline{A} \cup \overline{B}\) — весь прямоугольник, кроме общей части кругов.
Правая часть равенства. Событие \(A \cap B\) — общая часть кругов, противоположное ему событие \(\overline{A \cap B}\) — весь прямоугольник, кроме общей части кругов.
Изобразим обе части равенства на диаграммах Эйлера:
Обе части равенства изображаются одной и той же фигурой — прямоугольником без общей части кругов. Значит, события совпадают: \(\overline{A} \cup \overline{B} = \overline{A \cap B}\).
Ответ: для любых событий \(A\) и \(B\) верны равенства: а) \(\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}\); б) \(\overline{A} \cup \overline{B} = \overline{A \cap B}\).
