Страница 44 номер 122, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
В банке рядом друг с другом стоят два банкомата — старый и новый. Вероятность того, что в течение дня в старом банкомате закончатся денежные купюры, равна 0,2. Вероятность того, что купюры закончатся в новом банкомате, равна 0,1. В двух банкоматах купюры могут закончиться с вероятностью 0,05. Найдите вероятность события: а) «в течение дня купюры закончатся хотя бы в одном из банкоматов»; б) «в течение дня купюры не закончатся ни в одном из банкоматов»; в) «в течение дня купюры закончатся только в старом банкомате»; г) «к закрытию банка купюры останутся хотя бы в одном из банкоматов».
\(A\) — «в течение дня купюры закончатся в старом банкомате», \(B\) — «в течение дня купюры закончатся в новом банкомате»; \(P(A) = 0{,}2\), \(P(B) = 0{,}1\), \({P(A \cap B)} = 0{,}05\).
а) Событие «купюры закончатся хотя бы в одном из банкоматов» — это \(A \cup B\): \({P(A \cup B)} = P(A) + P(B) - {P(A \cap B)} = 0{,}2 + 0{,}1 - 0{,}05 = 0{,}25\).
б) Событие «купюры не закончатся ни в одном из банкоматов» противоположно событию \(A \cup B\), это \(\overline{A \cup B}\): \(P(\overline{A \cup B}) = 1 - {P(A \cup B)} = 1 - 0{,}25 = 0{,}75\).
в) \(C\) — событие «купюры закончатся только в старом банкомате». События \(C\) и \(A \cap B\) несовместны: при событии \(C\) купюры в новом банкомате остались, а при событии \(A \cap B\) закончились. Вместе эти события образуют событие \(A\), поэтому \(P(A) = P(C) + {P(A \cap B)}\), откуда \(P(C) = P(A) - {P(A \cap B)} = 0{,}2 - 0{,}05 = 0{,}15\).
г) Событие, противоположное событию «к закрытию банка купюры останутся хотя бы в одном из банкоматов», — «купюры не останутся ни в одном из банкоматов», то есть «купюры закончатся в обоих банкоматах»; это событие \(A \cap B\). Искомое событие — \(\overline{A \cap B}\): \(P(\overline{A \cap B}) = 1 - {P(A \cap B)} = 1 - 0{,}05 = 0{,}95\).
Ответ: а) \(0{,}25\); б) \(0{,}75\); в) \(0{,}15\); г) \(0{,}95\).
В банке рядом друг с другом стоят два банкомата — старый и новый. Вероятность того, что в течение дня в старом банкомате закончатся денежные купюры, равна 0,2. Вероятность того, что купюры закончатся в новом банкомате, равна 0,1. В двух банкоматах купюры могут закончиться с вероятностью 0,05. Найдите вероятность события: а) «в течение дня купюры закончатся хотя бы в одном из банкоматов»; б) «в течение дня купюры не закончатся ни в одном из банкоматов»; в) «в течение дня купюры закончатся только в старом банкомате»; г) «к закрытию банка купюры останутся хотя бы в одном из банкоматов».
Обозначим события: \(A\) — «в течение дня купюры закончатся в старом банкомате», \(B\) — «в течение дня купюры закончатся в новом банкомате». Тогда \(P(A) = 0{,}2\), \(P(B) = 0{,}1\), \({P(A \cap B)} = 0{,}05\).
а) Событие «купюры закончатся хотя бы в одном из банкоматов» — это объединение \(A \cup B\). По правилу сложения вероятностей \({P(A \cup B)} = P(A) + P(B) - {P(A \cap B)} = 0{,}2 + 0{,}1 - 0{,}05 = 0{,}25\).
б) Событие «купюры не закончатся ни в одном из банкоматов» противоположно событию \(A \cup B\), это \(\overline{A \cup B}\). Значит, \(P(\overline{A \cup B}) = 1 - {P(A \cup B)} = 1 - 0{,}25 = 0{,}75\).
в) Обозначим \(C\) событие «купюры закончатся только в старом банкомате». События \(C\) и \(A \cap B\) несовместны: при событии \(C\) купюры в новом банкомате остались, а при событии \(A \cap B\) закончились. Вместе эти события образуют событие \(A\). По правилу сложения вероятностей несовместных событий \(P(A) = P(C) + {P(A \cap B)}\), откуда \(P(C) = P(A) - {P(A \cap B)} = 0{,}2 - 0{,}05 = 0{,}15\).
г) Событие, противоположное событию «к закрытию банка купюры останутся хотя бы в одном из банкоматов», — «купюры не останутся ни в одном из банкоматов», то есть «купюры закончатся в обоих банкоматах»; это событие \(A \cap B\). Значит, искомое событие — \(\overline{A \cap B}\), и \(P(\overline{A \cap B}) = 1 - {P(A \cap B)} = 1 - 0{,}05 = 0{,}95\).
Ответ: а) \(0{,}25\); б) \(0{,}75\); в) \(0{,}15\); г) \(0{,}95\).
