Страница 41 номер 112, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Докажите, что: \[P(A \cap B) \le P(A) \text{ и } P(A \cap B) \le P(B).\]
Каждое элементарное событие, благоприятствующее событию \(A \cap B\), благоприятствует и событию \(A\). Остальные элементарные события, благоприятствующие событию \(A\), не благоприятствуют событию \(B\).
Вероятность события равна сумме вероятностей элементарных событий, благоприятствующих этому событию, а вероятности элементарных событий неотрицательны. Поэтому \(P(A)\) — это \({P(A \cap B)}\) плюс неотрицательная сумма вероятностей элементарных событий, которые благоприятствуют событию \(A\), но не событию \(B\) (если таких элементарных событий нет, эта сумма равна нулю). Значит, \({P(A \cap B)} \leqslant P(A)\).
Второе неравенство доказывается так же: каждое элементарное событие, благоприятствующее событию \(A \cap B\), благоприятствует и событию \(B\), поэтому \(P(B)\) — это \({P(A \cap B)}\) плюс неотрицательная сумма вероятностей элементарных событий, которые благоприятствуют событию \(B\), но не событию \(A\), и \({P(A \cap B)} \leqslant P(B)\).
Ответ: для любых событий \(A\) и \(B\) верны неравенства \({P(A \cap B)} \leqslant P(A)\) и \({P(A \cap B)} \leqslant P(B)\).
Докажите, что: \[P(A \cap B) \le P(A) \text{ и } P(A \cap B) \le P(B).\]
Каждое элементарное событие, благоприятствующее событию \(A \cap B\), благоприятствует и событию \(A\). Остальные элементарные события, благоприятствующие событию \(A\), не благоприятствуют событию \(B\).
Вероятность события равна сумме вероятностей элементарных событий, благоприятствующих этому событию, а вероятности элементарных событий неотрицательны. Поэтому \(P(A)\) — это \({P(A \cap B)}\) плюс неотрицательная сумма вероятностей элементарных событий, которые благоприятствуют событию \(A\), но не событию \(B\) (если таких элементарных событий нет, эта сумма равна нулю). Значит, \({P(A \cap B)} \leqslant P(A)\).
Второе неравенство доказывается так же. Каждое элементарное событие, благоприятствующее событию \(A \cap B\), благоприятствует и событию \(B\), а остальные элементарные события, благоприятствующие событию \(B\), не благоприятствуют событию \(A\). Поэтому \(P(B)\) — это \({P(A \cap B)}\) плюс неотрицательная сумма вероятностей этих элементарных событий, и \({P(A \cap B)} \leqslant P(B)\).
Ответ: для любых событий \(A\) и \(B\) верны неравенства \({P(A \cap B)} \leqslant P(A)\) и \({P(A \cap B)} \leqslant P(B)\).
