Вопросы после параграфа §93 на странице 131, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Высоцкого часть 2
По определению \(DX = E(X - EX)^{2}\).
Вторая формула обычно удобнее для вычислений: \(DX = EX^{2} - E^{2}X\), где \(EX^{2}\) — математическое ожидание величины \(X^{2}\), а \(E^{2}X\) — квадрат числа \(EX\).
Ответ: \(DX = E(X - EX)^{2}\) и \(DX = EX^{2} - E^{2}X\).
Пусть \(X\) и \(Y\) — случайные величины, у которых есть дисперсии; \(a\) и \(b\) — произвольные числа.
При сдвиге случайной величины на число её дисперсия не меняется: \(D(X + a) = DX\).
При умножении случайной величины на число её дисперсия умножается на квадрат этого числа: \(D(bX) = b^{2}DX\).
Если случайные величины \(X\) и \(Y\) независимы, то дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий: \(D(X + Y) = DX + DY\). Это свойство верно и для любого числа независимых случайных величин.
Ответ: \(D(X + a) = DX\); \(D(bX) = b^{2}DX\); если \(X\) и \(Y\) независимы, то \(D(X + Y) = DX + DY\).
Для независимых случайных величин, то есть таких, что значения одной из них не влияют на распределение другой; для любого числа независимых случайных величин дисперсия суммы равна сумме дисперсий. Для зависимых величин это свойство может не выполняться. Например, сложим с ней самой случайную величину \(X\), у которой \(DX \ne 0\): слагаемые зависимы — значение первого полностью определяет значение второго. Тогда \(D(X + X) = D(2X) = 2^{2}DX = 4DX\), а сумма дисперсий слагаемых равна \(DX + DX = 2DX\) — вдвое меньше.
Ответ: для независимых случайных величин.
\(X_{1}\), \(X_{2}\), \(X_{3}\) — числа очков при первом, втором и третьем бросаниях; сумма очков равна \(X_{1} + X_{2} + X_{3}\). Каждая из этих величин принимает значения 1, 2, 3, 4, 5, 6 с вероятностью \(\frac{1}{6}\) каждое.
\(EX_{1} = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = 3{,}5\).
\(EX_{1}^{2} = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} = \frac{91}{6}\).
\(DX_{1} = EX_{1}^{2} - E^{2}X_{1} = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{35}{12}\); так же \(DX_{2} = DX_{3} = \frac{35}{12}\).
Величины \(X_{1}\), \(X_{2}\), \(X_{3}\) независимы, поскольку относятся к разным бросаниям кости, а дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:
\[D(X_{1} + X_{2} + X_{3}) = DX_{1} + DX_{2} + DX_{3} = 3 \cdot \frac{35}{12} = \frac{35}{4} = 8{,}75.\]
Ответ: \(\frac{35}{4} = 8{,}75\).
По определению дисперсия — математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:
\[DX = E(X - EX)^{2}.\]
Вторая формула обычно удобнее для вычислений: дисперсия равна разности математического ожидания квадрата случайной величины и квадрата её математического ожидания:
\[DX = EX^{2} - E^{2}X.\]
Здесь \(EX^{2}\) — математическое ожидание величины \(X^{2}\), а \(E^{2}X\) — квадрат числа \(EX\).
Ответ: \(DX = E(X - EX)^{2}\) и \(DX = EX^{2} - E^{2}X\).
Пусть \(X\) и \(Y\) — случайные величины, у которых есть дисперсии; \(a\) и \(b\) — произвольные числа.
При сдвиге случайной величины на число её дисперсия не меняется: \(D(X + a) = DX\).
При умножении случайной величины на число её дисперсия умножается на квадрат этого числа: \(D(bX) = b^{2}DX\).
Если случайные величины \(X\) и \(Y\) независимы, то дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий: \(D(X + Y) = DX + DY\). Это свойство верно и для любого числа независимых случайных величин.
Ответ: \(D(X + a) = DX\); \(D(bX) = b^{2}DX\); если \(X\) и \(Y\) независимы, то \(D(X + Y) = DX + DY\).
Для независимых случайных величин, то есть таких, что значения одной из них не влияют на распределение другой; для любого числа независимых случайных величин дисперсия суммы равна сумме дисперсий. Для зависимых величин это свойство может не выполняться. Например, сложим с ней самой случайную величину \(X\), у которой \(DX \ne 0\): слагаемые зависимы — значение первого полностью определяет значение второго. Тогда \(D(X + X) = D(2X) = 2^{2}DX = 4DX\), а сумма дисперсий слагаемых равна \(DX + DX = 2DX\) — вдвое меньше.
Ответ: для независимых случайных величин.
Обозначим числа очков, выпавших при первом, втором и третьем бросаниях, буквами \(X_{1}\), \(X_{2}\) и \(X_{3}\); сумма очков равна \(X_{1} + X_{2} + X_{3}\). Каждая из этих величин принимает значения 1, 2, 3, 4, 5, 6 с вероятностью \(\frac{1}{6}\) каждое. Поэтому \(EX_{1} = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = 3{,}5\), \(EX_{1}^{2} = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} = \frac{91}{6}\) и \(DX_{1} = EX_{1}^{2} - E^{2}X_{1} = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{35}{12}\); так же \(DX_{2} = DX_{3} = \frac{35}{12}\). Величины \(X_{1}\), \(X_{2}\), \(X_{3}\) независимы, поскольку относятся к разным бросаниям кости, а дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:
\[D(X_{1} + X_{2} + X_{3}) = DX_{1} + DX_{2} + DX_{3} = 3 \cdot \frac{35}{12} = \frac{35}{4} = 8{,}75.\]
Ответ: \(\frac{35}{4} = 8{,}75\).
