Страница 125 номер 362, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
В коробке восемь фломастеров: два синих, два жёлтых, два красных и два зелёных. Фломастеры достают из коробки парами — в каждой паре два случайных фломастера. Найдите математическое ожидание числа пар, в которых фломастеры окажутся одного цвета.
Пусть \(X\) — число пар, в которых фломастеры одного цвета. Пара одного цвета — это пара, в которую попали оба фломастера какого-то цвета, поэтому таких пар столько, сколько цветов, оба фломастера которых оказались вместе. Для каждого цвета введём бинарную случайную величину: \(I_{1} = 1\), если оба синих фломастера оказались в одной паре, и \(I_{1} = 0\) в противном случае; так же \(I_{2}\), \(I_{3}\) и \(I_{4}\) — для жёлтых, красных и зелёных фломастеров. Тогда \[X = I_{1} + I_{2} + I_{3} + I_{4}.\]
Один из синих фломастеров с равными шансами может оказаться в паре с любым из остальных семи фломастеров, поэтому со вторым синим он окажется в одной паре с вероятностью \(\frac{1}{7}\): \[EI_{1} = 0 \cdot \frac{6}{7} + 1 \cdot \frac{1}{7} = \frac{1}{7}.\]
То же верно и для остальных цветов: \(EI_{2} = EI_{3} = EI_{4} = \frac{1}{7}\). Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий: \[EX = EI_{1} + EI_{2} + EI_{3} + EI_{4} = 4 \cdot \frac{1}{7} = \frac{4}{7}.\]
Ответ: \(EX = \frac{4}{7}\).
