Страница 138 номер 392, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Пусть \(S\) — число успехов в серии из \(n\) испытаний Бернулли с вероятностью успеха \(p\). а) Докажите неравенство \(DS \le \frac{n}{4}\). б) При какой вероятности успеха \(p\) выполняется равенство \(DS = \frac{n}{4}\)?
а) \(DS = npq\), где \(q = 1 - p\), поэтому \(DS = np(1 - p) = np - np^{2}\).
\[\begin{aligned} &\frac{n}{4} - \left(np - np^{2}\right) = \frac{n}{4} - np + np^{2} = {} \\ &= n\left(p^{2} - p + \frac{1}{4}\right) = n\left(p - \frac{1}{2}\right)^{2}. \end{aligned}\]
Число испытаний \(n\) положительно, а квадрат \(\left(p - \frac{1}{2}\right)^{2}\) неотрицателен, поэтому \(\frac{n}{4} - DS \geqslant 0\), то есть \(DS \leqslant \frac{n}{4}\) при любой вероятности успеха \(p\).
б) Равенство \(DS = \frac{n}{4}\) означает, что \(n\left(p - \frac{1}{2}\right)^{2} = 0\). Так как \(n > 0\), это верно только при \(p - \frac{1}{2} = 0\), то есть при \(p = \frac{1}{2}\).
Ответ: а) \(DS \leqslant \frac{n}{4}\) при любой вероятности успеха \(p\); б) при \(p = \frac{1}{2}\).
Пусть \(S\) — число успехов в серии из \(n\) испытаний Бернулли с вероятностью успеха \(p\). а) Докажите неравенство \(DS \le \frac{n}{4}\). б) При какой вероятности успеха \(p\) выполняется равенство \(DS = \frac{n}{4}\)?
а) По теореме о математическом ожидании и дисперсии числа успехов \(DS = npq\), где \(q = 1 - p\), поэтому \(DS = np(1 - p) = np - np^{2}\). Найдём разность \(\frac{n}{4} - DS\):
\[\begin{aligned} &\frac{n}{4} - \left(np - np^{2}\right) = \frac{n}{4} - np + np^{2} = {} \\ &= n\left(p^{2} - p + \frac{1}{4}\right) = n\left(p - \frac{1}{2}\right)^{2}. \end{aligned}\]
Число испытаний \(n\) положительно, а квадрат \(\left(p - \frac{1}{2}\right)^{2}\) неотрицателен, поэтому \(\frac{n}{4} - DS \geqslant 0\), то есть \(DS \leqslant \frac{n}{4}\) при любой вероятности успеха \(p\).
б) Равенство \(DS = \frac{n}{4}\) означает, что \(n\left(p - \frac{1}{2}\right)^{2} = 0\). Так как \(n > 0\), это верно только при \(p - \frac{1}{2} = 0\), то есть при \(p = \frac{1}{2}\).
Ответ: а) \(DS \leqslant \frac{n}{4}\) при любой вероятности успеха \(p\); б) при \(p = \frac{1}{2}\).
