Страница 132 номер 374, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Найдите дисперсию случайной величины «количество выпавших орлов», если монету бросают: а) 3 раза; б) 5 раз; в) 100 раз; г) \(n\) раз.
Будем считать монету симметричной. Пусть монету бросают \(n\) раз и \(X\) — число выпавших орлов, а \(I_{1}, I_{2}, \ldots, I_{n}\) — бинарные случайные величины: \(I_{k} = 1\), если при \(k\)-м броске выпал орёл, и \(I_{k} = 0\), если выпала решка. Тогда \(X = I_{1} + I_{2} + \ldots + I_{n}\).
Каждая величина \(I_{k}\) принимает значение 1 с вероятностью \(p = \frac{1}{2}\) и значение 0 с вероятностью \(q = \frac{1}{2}\), поэтому \(DI_{k} = pq = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\).
Величины \(I_{1}, I_{2}, \ldots, I_{n}\) независимы, поскольку относятся к разным бросаниям монеты, а дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий.
а) \(DX = DI_{1} + DI_{2} + DI_{3} = 3 \cdot \frac{1}{4} = 0{,}75\).
б) \(DX = DI_{1} + DI_{2} + \ldots + DI_{5} = 5 \cdot \frac{1}{4} = 1{,}25\).
в) \(DX = DI_{1} + DI_{2} + \ldots + DI_{100} = 100 \cdot \frac{1}{4} = 25\).
г) \(DX = DI_{1} + DI_{2} + \ldots + DI_{n} = n \cdot \frac{1}{4} = 0{,}25n\).
Ответ: а) \(DX = 0{,}75\); б) \(DX = 1{,}25\); в) \(DX = 25\); г) \(DX = 0{,}25n\).
Найдите дисперсию случайной величины «количество выпавших орлов», если монету бросают: а) 3 раза; б) 5 раз; в) 100 раз; г) \(n\) раз.
Будем считать монету симметричной. Пусть монету бросают \(n\) раз и \(X\) — число выпавших орлов. Введём бинарные случайные величины \(I_{1}, I_{2}, \ldots, I_{n}\): \(I_{k} = 1\), если при \(k\)-м броске выпал орёл, и \(I_{k} = 0\), если выпала решка. Тогда \(X = I_{1} + I_{2} + \ldots + I_{n}\).
Каждая величина \(I_{k}\) принимает значение 1 с вероятностью \(p = \frac{1}{2}\) и значение 0 с вероятностью \(q = \frac{1}{2}\), поэтому \(DI_{k} = pq = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\). Величины \(I_{1}, I_{2}, \ldots, I_{n}\) независимы, поскольку относятся к разным бросаниям монеты, а дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий. Значит, дисперсия \(DX\) равна сумме \(n\) слагаемых, каждое из которых равно \(\frac{1}{4}\).
а) \(DX = DI_{1} + DI_{2} + DI_{3} = 3 \cdot \frac{1}{4} = 0{,}75\).
б) \(DX = DI_{1} + DI_{2} + \ldots + DI_{5} = 5 \cdot \frac{1}{4} = 1{,}25\).
в) \(DX = DI_{1} + DI_{2} + \ldots + DI_{100} = 100 \cdot \frac{1}{4} = 25\).
г) \(DX = DI_{1} + DI_{2} + \ldots + DI_{n} = n \cdot \frac{1}{4} = 0{,}25n\).
Ответ: а) \(DX = 0{,}75\); б) \(DX = 1{,}25\); в) \(DX = 25\); г) \(DX = 0{,}25n\).
