Страница 129 номер 370, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
В таблице 31 дано распределение вероятностей случайной величины \(X\).
Таблица 31
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Значение } X & -3 & -2 & -1 & 0 \\ \hline \text{Вероятность} & 0{,}2 & 0{,}3 & 0{,}3 & 0{,}2 \\ \hline \end{array}\]
а) Составьте распределение отклонения \(X - EX\).
б) Составьте распределение квадрата отклонения \((X - EX)^{2}\).
в) Вычислите дисперсию и стандартное отклонение случайной величины \(X\).
\[EX = (-3) \cdot 0{,}2 + (-2) \cdot 0{,}3 + (-1) \cdot 0{,}3 + 0 \cdot 0{,}2 = -1{,}5.\]
а) Отклонение \(X - EX = X + 1{,}5\) принимает значения \(-3 + 1{,}5 = -1{,}5\);
\(-2 + 1{,}5 = -0{,}5\);
\(-1 + 1{,}5 = 0{,}5\);
\(0 + 1{,}5 = 1{,}5\) с теми же вероятностями, что и значения \(-3\), \(-2\), \(-1\), \(0\) величины \(X\):
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Значение } X - EX & -1{,}5 & -0{,}5 & 0{,}5 & 1{,}5 \\ \hline \text{Вероятность} & 0{,}2 & 0{,}3 & 0{,}3 & 0{,}2 \\ \hline \end{array}\]
б) Квадраты отклонений: \((-1{,}5)^{2} = 1{,}5^{2} = 2{,}25\) и \((-0{,}5)^{2} = 0{,}5^{2} = 0{,}25\). Значение \(0{,}25\) величина \((X - EX)^{2}\) принимает при \(X = -2\) и при \(X = -1\), его вероятность равна \(0{,}3 + 0{,}3 = 0{,}6\); значение \(2{,}25\) — при \(X = -3\) и при \(X = 0\), его вероятность равна \(0{,}2 + 0{,}2 = 0{,}4\):
\[\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Значение } (X - EX)^{2} & 0{,}25 & 2{,}25 \\ \hline \text{Вероятность} & 0{,}6 & 0{,}4 \\ \hline \end{array}\]
в) Дисперсия — математическое ожидание квадрата отклонения:
\[DX = 0{,}25 \cdot 0{,}6 + 2{,}25 \cdot 0{,}4 = 0{,}15 + 0{,}9 = 1{,}05.\]
\(\sqrt{DX} = \sqrt{1{,}05} \approx 1{,}02\) — стандартное отклонение.
Ответ: а) \(X - EX\) принимает значения \(-1{,}5\); \(-0{,}5\); \(0{,}5\); \(1{,}5\) с вероятностями \(0{,}2\); \(0{,}3\); \(0{,}3\); \(0{,}2\); б) \((X - EX)^{2}\) принимает значения \(0{,}25\) и \(2{,}25\) с вероятностями \(0{,}6\) и \(0{,}4\); в) \(DX = 1{,}05\), стандартное отклонение \(\sqrt{DX} \approx 1{,}02\).
В таблице 31 дано распределение вероятностей случайной величины \(X\).
Таблица 31
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Значение } X & -3 & -2 & -1 & 0 \\ \hline \text{Вероятность} & 0{,}2 & 0{,}3 & 0{,}3 & 0{,}2 \\ \hline \end{array}\]
а) Составьте распределение отклонения \(X - EX\).
б) Составьте распределение квадрата отклонения \((X - EX)^{2}\).
в) Вычислите дисперсию и стандартное отклонение случайной величины \(X\).
По таблице условия найдём математическое ожидание:
\[EX = (-3) \cdot 0{,}2 + (-2) \cdot 0{,}3 + (-1) \cdot 0{,}3 + 0 \cdot 0{,}2 = -1{,}5.\]
а) Отклонение \(X - EX = X + 1{,}5\) принимает значения \(-3 + 1{,}5 = -1{,}5\);
\(-2 + 1{,}5 = -0{,}5\);
\(-1 + 1{,}5 = 0{,}5\);
\(0 + 1{,}5 = 1{,}5\) с теми же вероятностями, что и значения \(-3\), \(-2\), \(-1\), \(0\) величины \(X\):
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Значение } X - EX & -1{,}5 & -0{,}5 & 0{,}5 & 1{,}5 \\ \hline \text{Вероятность} & 0{,}2 & 0{,}3 & 0{,}3 & 0{,}2 \\ \hline \end{array}\]
б) Квадраты отклонений: \((-1{,}5)^{2} = 1{,}5^{2} = 2{,}25\) и \((-0{,}5)^{2} = 0{,}5^{2} = 0{,}25\). Значение \(0{,}25\) величина \((X - EX)^{2}\) принимает при \(X = -2\) и при \(X = -1\), его вероятность равна \(0{,}3 + 0{,}3 = 0{,}6\); значение \(2{,}25\) — при \(X = -3\) и при \(X = 0\), его вероятность равна \(0{,}2 + 0{,}2 = 0{,}4\):
\[\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Значение } (X - EX)^{2} & 0{,}25 & 2{,}25 \\ \hline \text{Вероятность} & 0{,}6 & 0{,}4 \\ \hline \end{array}\]
в) Дисперсия — математическое ожидание квадрата отклонения:
\[DX = 0{,}25 \cdot 0{,}6 + 2{,}25 \cdot 0{,}4 = 0{,}15 + 0{,}9 = 1{,}05.\]
Стандартное отклонение — арифметический квадратный корень из дисперсии: \(\sqrt{DX} = \sqrt{1{,}05} \approx 1{,}02\).
Ответ: а) \(X - EX\) принимает значения \(-1{,}5\); \(-0{,}5\); \(0{,}5\); \(1{,}5\) с вероятностями \(0{,}2\); \(0{,}3\); \(0{,}3\); \(0{,}2\); б) \((X - EX)^{2}\) принимает значения \(0{,}25\) и \(2{,}25\) с вероятностями \(0{,}6\) и \(0{,}4\); в) \(DX = 1{,}05\), стандартное отклонение \(\sqrt{DX} \approx 1{,}02\).
