Страница 125 номер 358, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Случайная величина \(X\) принимает целые значения от \(-3\) до 7 с равными вероятностями. Случайная величина \(Y\) принимает целые значения от 1 до 9 также с равными вероятностями. Найдите математическое ожидание случайной величины \(Z\), если: а) \(Z = X + Y\); б) \(Z = X - Y\).
Целых чисел от \(-3\) до 7 всего 11, и каждое из них величина \(X\) принимает с вероятностью \(\frac{1}{11}\): \[\begin{aligned} &EX = (-3) \cdot \frac{1}{11} + (-2) \cdot \frac{1}{11} + \ldots + 7 \cdot \frac{1}{11} = {} \\ &= \frac{(-3) + (-2) + \ldots + 6 + 7}{11} = \frac{22}{11} = 2. \end{aligned}\]
Сумма в числителе равна \(4 + 5 + 6 + 7 = 22\): числа \(-3\) и 3, \(-2\) и 2, \(-1\) и 1 попарно противоположны и при сложении дают 0.
Целых чисел от 1 до 9 всего 9, и каждое из них величина \(Y\) принимает с вероятностью \(\frac{1}{9}\): \[\begin{aligned} &EY = 1 \cdot \frac{1}{9} + 2 \cdot \frac{1}{9} + \ldots + 9 \cdot \frac{1}{9} = {} \\ &= \frac{1 + 2 + \ldots + 9}{9} = \frac{45}{9} = 5. \end{aligned}\]
а) \(EZ = E(X + Y) = EX + EY = 2 + 5 = 7\).
б) \(Z = X - Y = X + (-1) \cdot Y\), поэтому \(EZ = EX + (-1) \cdot EY = 2 - 5 = -3\).
Ответ: а) 7; б) \(-3\).
Случайная величина \(X\) принимает целые значения от \(-3\) до 7 с равными вероятностями. Случайная величина \(Y\) принимает целые значения от 1 до 9 также с равными вероятностями. Найдите математическое ожидание случайной величины \(Z\), если: а) \(Z = X + Y\); б) \(Z = X - Y\).
Целых чисел от \(-3\) до 7 всего 11, и каждое из них величина \(X\) принимает с вероятностью \(\frac{1}{11}\): \[\begin{aligned} &EX = (-3) \cdot \frac{1}{11} + (-2) \cdot \frac{1}{11} + \ldots + 7 \cdot \frac{1}{11} = {} \\ &= \frac{(-3) + (-2) + \ldots + 6 + 7}{11} = \frac{22}{11} = 2. \end{aligned}\]
Сумма в числителе равна \(4 + 5 + 6 + 7 = 22\): числа \(-3\) и 3, \(-2\) и 2, \(-1\) и 1 попарно противоположны и при сложении дают 0.
Целых чисел от 1 до 9 всего 9, и каждое из них величина \(Y\) принимает с вероятностью \(\frac{1}{9}\): \[\begin{aligned} &EY = 1 \cdot \frac{1}{9} + 2 \cdot \frac{1}{9} + \ldots + 9 \cdot \frac{1}{9} = {} \\ &= \frac{1 + 2 + \ldots + 9}{9} = \frac{45}{9} = 5. \end{aligned}\]
Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий, а \(E(bY) = b \cdot EY\) для любого числа \(b\).
а) \(EZ = E(X + Y) = EX + EY = 2 + 5 = 7\).
б) \(Z = X - Y = X + (-1) \cdot Y\), поэтому \(EZ = EX + (-1) \cdot EY = 2 - 5 = -3\).
Ответ: а) 7; б) \(-3\).
