Страница 135 номер 383, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Игральную кость бросают до тех пор, пока каждая грань не выпадет хотя бы один раз. Найдите математическое ожидание числа бросков. Указание. Рассмотрите по отдельности среднее число бросков, которые нужны, чтобы выпала одна какая-нибудь грань, затем — другая, затем — третья и так далее.
\(T_{1}\) — число бросков, за которые выпадет первая грань, \(T_{1} = 1\): при первом броске выпадает грань, которой ещё не было. \(T_{2}\), \(T_{3}\), …, \(T_{6}\) — числа следующих бросков, за которые выпадет вторая, третья, …, шестая новая грань.
Когда уже выпали \(k\) разных граней (\(k = 1, 2, \ldots, 5\)), при каждом следующем броске новая грань выпадает с вероятностью \(\frac{6 - k}{6}\), поэтому \(T_{k + 1}\) — число испытаний до первого успеха и \(ET_{k + 1} = 1 : \frac{6 - k}{6} = \frac{6}{6 - k}\).
Значит, \(ET_{2} = \frac{6}{5}\), \(ET_{3} = \frac{6}{4}\), \(ET_{4} = \frac{6}{3}\), \(ET_{5} = \frac{6}{2}\), \(ET_{6} = \frac{6}{1}\).
Число всех бросков \(X = T_{1} + T_{2} + \ldots + T_{6}\):
\[\begin{aligned} &EX = 1 + \frac{6}{5} + \frac{6}{4} + \frac{6}{3} + \frac{6}{2} + \frac{6}{1} = {} \\ &= 1 + 1{,}2 + 1{,}5 + 2 + 3 + 6 = 14{,}7. \end{aligned}\]
Ответ: \(14{,}7\).
Игральную кость бросают до тех пор, пока каждая грань не выпадет хотя бы один раз. Найдите математическое ожидание числа бросков. Указание. Рассмотрите по отдельности среднее число бросков, которые нужны, чтобы выпала одна какая-нибудь грань, затем — другая, затем — третья и так далее.
Разобьём все броски на этапы. Пусть \(T_{1}\) — число бросков, за которые выпадет первая грань: \(T_{1} = 1\), так как при первом броске выпадает грань, которой ещё не было. Пусть \(T_{2}\) — число следующих бросков, за которые выпадет вторая, новая грань, \(T_{3}\) — третья, и так далее, \(T_{6}\) — последняя, шестая грань.
Когда уже выпали \(k\) разных граней (\(k = 1, 2, \ldots, 5\)), при каждом следующем броске новая грань выпадает с вероятностью \(\frac{6 - k}{6}\). Поэтому \(T_{k + 1}\) — число испытаний до первого успеха с вероятностью успеха \(p = \frac{6 - k}{6}\), и \(ET_{k + 1} = 1 : \frac{6 - k}{6} = \frac{6}{6 - k}\).
Значит, \(ET_{2} = \frac{6}{5}\), \(ET_{3} = \frac{6}{4}\), \(ET_{4} = \frac{6}{3}\), \(ET_{5} = \frac{6}{2}\), \(ET_{6} = \frac{6}{1}\).
Число всех бросков \(X = T_{1} + T_{2} + \ldots + T_{6}\), а математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий:
\[\begin{aligned} &EX = 1 + \frac{6}{5} + \frac{6}{4} + \frac{6}{3} + \frac{6}{2} + \frac{6}{1} = {} \\ &= 1 + 1{,}2 + 1{,}5 + 2 + 3 + 6 = 14{,}7. \end{aligned}\]
Ответ: \(14{,}7\).
