Страница 128 номер 366, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Монету бросают 2 раза. Постройте распределение и найдите дисперсию случайной величины «число выпавших орлов».
Будем считать монету симметричной. При двух бросаниях монеты (О — орёл, Р — решка) четыре равновозможных элементарных события: ОО, ОР, РО и РР; вероятность каждого из них равна \(\frac{1}{4}\).
Число выпавших орлов \(X\) равно 0 при РР, 1 при ОР и РО, 2 при ОО.
\[\def\st{\rule[-1.1em]{0pt}{2.6em}}\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Значение } X & 0 & 1 & 2 \st \\ \hline \text{Вероятность} & \dfrac{1}{4} & \dfrac{2}{4} & \dfrac{1}{4} \st \\ \hline \end{array}\]
\(EX = 0 \cdot \frac{1}{4} + 1 \cdot \frac{2}{4} + 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{4}{4} = 1\).
\[\begin{aligned} &DX = (0 - 1)^{2} \cdot \frac{1}{4} + (1 - 1)^{2} \cdot \frac{2}{4} + (2 - 1)^{2} \cdot \frac{1}{4} = {} \\ &= \frac{1}{4} + 0 + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = 0{,}5. \end{aligned}\]
Ответ: \(X\) принимает значения 0, 1, 2 с вероятностями \(\frac{1}{4}\), \(\frac{2}{4}\), \(\frac{1}{4}\); дисперсия равна \(0{,}5\).
Монету бросают 2 раза. Постройте распределение и найдите дисперсию случайной величины «число выпавших орлов».
Будем считать монету симметричной. Обозначим буквой \(X\) число выпавших орлов. При двух бросаниях монеты (О — орёл, Р — решка) четыре равновозможных элементарных события: ОО, ОР, РО и РР; вероятность каждого из них равна \(\frac{1}{4}\). Величина \(X\) равна 0 при РР, 1 при ОР и РО, 2 при ОО. Запишем распределение в таблицу:
\[\def\st{\rule[-1.1em]{0pt}{2.6em}}\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Значение } X & 0 & 1 & 2 \st \\ \hline \text{Вероятность} & \dfrac{1}{4} & \dfrac{2}{4} & \dfrac{1}{4} \st \\ \hline \end{array}\]
Математическое ожидание \(EX = 0 \cdot \frac{1}{4} + 1 \cdot \frac{2}{4} + 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{4}{4} = 1\). Дисперсия — математическое ожидание квадрата отклонения \(X - EX\):
\[\begin{aligned} &DX = (0 - 1)^{2} \cdot \frac{1}{4} + (1 - 1)^{2} \cdot \frac{2}{4} + (2 - 1)^{2} \cdot \frac{1}{4} = {} \\ &= \frac{1}{4} + 0 + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = 0{,}5. \end{aligned}\]
Ответ: \(X\) принимает значения 0, 1, 2 с вероятностями \(\frac{1}{4}\), \(\frac{2}{4}\), \(\frac{1}{4}\); дисперсия равна \(0{,}5\).
