Вопросы после параграфа §95 на страницах 136-137, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Высоцкого часть 2

Пусть проводится серия из \(n\) испытаний Бернулли с вероятностью успеха \(p\) и вероятностью неудачи \(q = 1 - p\), а \(S\) — число успехов. Вероятность того, что успехов будет ровно \(k\) (\(k = 0, 1, \ldots, n\)), равна

\[P(S = k) = C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k}.\]

Например, вероятность получить ровно два орла при трёх бросаниях симметричной монеты равна \(C_{3}^{2} \cdot 0{,}5^{2} \cdot 0{,}5 = 3 \cdot 0{,}125 = 0{,}375\).

Ответ: \({P(S = k)} = C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k}\).

Ожидаемое число успехов — это математическое ожидание числа успехов:

\[ES = np = 20 \cdot 0{,}5 = 10.\]

Возьмём для примера такие результаты 20 бросаний (О — орёл, Р — решка): О, Р, Р, О, О, Р, О, Р, Р, Р, О, Р, О, О, Р, Р, О, Р, Р, О. Орёл выпал 9 раз, то есть наступило 9 успехов, а не 10. Ничего удивительного в этом нет: число успехов — случайная величина, а 10 — лишь её среднее значение. Ровно 10 орлов при 20 бросаниях выпадает далеко не всегда, вероятность этого

\[P(S = 10) = C_{20}^{10} \cdot 0{,}5^{20} = \frac{184\,756}{1\,048\,576} \approx 0{,}176.\]

Ответ: ожидаемое число успехов равно 10; в нашем опыте орёл выпал 9 раз, и число успехов с ожидаемым значением не совпало.

Пусть серия состоит из \(n\) испытаний, вероятность успеха в каждом равна \(p\), а \(S\) — число успехов. Число неудач равно \(n - S\), и по свойствам \(E(X + a) = EX + a\) и \(E(bX) = b \cdot EX\) ожидаемое число неудач равно

\[E(n - S) = n - ES = n - np = n(1 - p).\]

Чем больше вероятность успеха \(p\), тем меньше \(1 - p\) и тем меньше ожидаемое число неудач \(n(1 - p)\) при том же \(n\). Значит, утверждение а) неверно, а утверждение б) верно. Утверждение в) неверно: ожидаемое число успехов \(ES = np\) зависит не только от числа испытаний \(n\), но и от вероятности успеха \(p\).

Ответ: верно утверждение б): чем больше вероятность успеха, тем меньше ожидаемое число неудач.

Биномиальное распределение имеет число успехов \(S\) в серии из \(n\) испытаний Бернулли с вероятностью успеха \(p\) и вероятностью неудачи \(q = 1 - p\). Его математическое ожидание и дисперсия равны

\[\begin{aligned} ES &= np; \\ DS &= npq. \end{aligned}\]

Например, число орлов при 100 бросаниях симметричной монеты имеет математическое ожидание \(ES = 100 \cdot 0{,}5 = 50\) и дисперсию \(DS = 100 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 25\).

Ответ: \(ES = np\), \(DS = npq\), где \(q = 1 - p\).

Обозначим \(S_{1}\) и \(S_{2}\) числа успехов в первой и во второй сериях. В первой серии вероятность успеха равна \(0{,}2\), а неудачи — \(0{,}8\), во второй — наоборот: успеха \(0{,}8\), неудачи \(0{,}2\).

а) Математическое ожидание числа успехов \(np\) при одном и том же \(n\) пропорционально вероятности успеха: \(ES_{1} = 0{,}2n\), \(ES_{2} = 0{,}8n\). Вероятность успеха во второй серии в 4 раза больше, поэтому и математическое ожидание числа успехов в ней в 4 раза больше.

б) Дисперсия числа успехов \(npq\) — произведение числа \(n\) на вероятности успеха и неудачи. В обеих сериях эти вероятности — числа \(0{,}2\) и \(0{,}8\), только поменявшиеся местами, поэтому \(DS_{1} = n \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}8 = n \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}2 = DS_{2}\).

Ответ: а) во второй серии математическое ожидание числа успехов в 4 раза больше, чем в первой; б) дисперсии числа успехов в двух сериях равны.

Вероятность успеха \(p\) и вероятность неудачи \(q = 1 - p\) от числа испытаний не зависят и положительны.

а) Математическое ожидание числа успехов \(ES = np\) растёт пропорционально \(n\).

б) Число неудач равно \(n - S\), его математическое ожидание \(E(n - S) = n - np = nq\) тоже растёт пропорционально \(n\).

в) Дисперсия числа успехов \(DS = npq\) растёт пропорционально \(n\).

Ответ: а) математическое ожидание числа успехов растёт; б) математическое ожидание числа неудач растёт; в) дисперсия числа успехов растёт; все три величины пропорциональны \(n\).

Число неудач в серии из \(n\) испытаний равно \(n - S\), где \(S\) — число успехов. По свойствам \(D(X + a) = DX\) и \(D(bX) = b^{2}DX\)

\[D(n - S) = D(-S) = (-1)^{2}DS = DS.\]

Значит, дисперсия числа неудач равна дисперсии числа успехов. Это видно и по формуле: если считать успехом неудачу, получится серия испытаний Бернулли с вероятностью успеха \(q\) и вероятностью неудачи \(p\), и дисперсия числа неудач равна \(nqp = npq\).

Ответ: верно: дисперсия числа успехов равна дисперсии числа неудач.