Страница 135 номер 384, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
В шоколадных яйцах спрятаны модели машинок из популярного мультфильма. Серёжа хочет собрать полную коллекцию машинок. Всего разных машинок \(n\), и в каждом следующем купленном яйце каждая из них может оказаться с вероятностью \(\frac{1}{n}\) независимо от того, какие машинки уже есть у Серёжи. Найдите математическое ожидание случайной величины «количество шоколадных яиц, которые будут куплены к моменту, когда Серёжа соберёт полную коллекцию».
\(T_{1}\) — число яиц, купленных до появления первой машинки, \(T_{1} = 1\): в первом же яйце окажется машинка, которой у Серёжи ещё нет. \(T_{2}\) — число следующих яиц, купленных до появления второй, новой машинки, и так далее, \(T_{n}\) — до появления последней машинки коллекции.
Когда у Серёжи уже есть \(k\) разных машинок (\(1 \leqslant k \leqslant n - 1\)), в каждом следующем яйце окажется новая машинка с вероятностью \(\frac{n - k}{n}\) независимо от предыдущих покупок, поэтому \(T_{k + 1}\) — число испытаний до первого успеха:
\[ET_{k + 1} = 1 : \frac{n - k}{n} = \frac{n}{n - k}.\]
При \(k = 1, 2, \ldots, n - 1\): \(ET_{2} = \frac{n}{n - 1}\), \(ET_{3} = \frac{n}{n - 2}\), …, \(ET_{n} = \frac{n}{1}\).
Число купленных яиц \(X = T_{1} + T_{2} + \ldots + T_{n}\):
\[\begin{aligned} &EX = 1 + \frac{n}{n - 1} + \frac{n}{n - 2} + \ldots + \frac{n}{1} = {} \\ &= n\left(\frac{1}{n} + \frac{1}{n - 1} + \frac{1}{n - 2} + \ldots + 1\right) = {} \\ &= n\left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{n}\right). \end{aligned}\]
Ответ: \(n\left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{n}\right)\).
В шоколадных яйцах спрятаны модели машинок из популярного мультфильма. Серёжа хочет собрать полную коллекцию машинок. Всего разных машинок \(n\), и в каждом следующем купленном яйце каждая из них может оказаться с вероятностью \(\frac{1}{n}\) независимо от того, какие машинки уже есть у Серёжи. Найдите математическое ожидание случайной величины «количество шоколадных яиц, которые будут куплены к моменту, когда Серёжа соберёт полную коллекцию».
Разобьём покупки на этапы. Пусть \(T_{1}\) — число яиц, купленных до появления первой машинки: \(T_{1} = 1\), так как в первом же яйце окажется машинка, которой у Серёжи ещё нет. Пусть \(T_{2}\) — число следующих яиц, купленных до появления второй, новой машинки, и так далее, \(T_{n}\) — до появления последней машинки коллекции.
Когда у Серёжи уже есть \(k\) разных машинок (\(1 \leqslant k \leqslant n - 1\)), в каждом следующем яйце окажется новая машинка с вероятностью \(\frac{n - k}{n}\) независимо от предыдущих покупок. Поэтому \(T_{k + 1}\) — число испытаний до первого успеха с вероятностью успеха \(p = \frac{n - k}{n}\), и
\[ET_{k + 1} = 1 : \frac{n - k}{n} = \frac{n}{n - k}.\]
При \(k = 1, 2, \ldots, n - 1\) получаем \(ET_{2} = \frac{n}{n - 1}\), \(ET_{3} = \frac{n}{n - 2}\), …, \(ET_{n} = \frac{n}{1}\).
Число купленных яиц \(X = T_{1} + T_{2} + \ldots + T_{n}\), а математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий:
\[\begin{aligned} &EX = 1 + \frac{n}{n - 1} + \frac{n}{n - 2} + \ldots + \frac{n}{1} = {} \\ &= n\left(\frac{1}{n} + \frac{1}{n - 1} + \frac{1}{n - 2} + \ldots + 1\right) = {} \\ &= n\left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{n}\right). \end{aligned}\]
Ответ: \(n\left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{n}\right)\).
