Страница 137 номер 390, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Известно, что 30 % жителей города считают, что центральный парк нуждается в реконструкции. Для исследования общественного мнения по этому вопросу добровольцы опросили на улицах 1800 случайных горожан. Найдите математическое ожидание и стандартное отклонение частоты ответа «да» на вопрос «Нужна ли реконструкция в центральном парке?».
Будем считать, что опрошенные отвечают независимо друг от друга. Тогда опрос 1800 горожан — серия из \(n = 1800\) испытаний Бернулли, успех — ответ «да», \(p = 0{,}3\), \(q = 0{,}7\); \(S\) — число ответов «да»:
\[\begin{aligned} ES &= np = 1800 \cdot 0{,}3 = 540; \\ DS &= npq = 1800 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}7 = 378. \end{aligned}\]
Частота ответа «да» \(F = \frac{S}{1800}\). По свойствам \(E(bX) = b \cdot EX\) и \(D(bX) = b^{2}DX\) при \(b = \frac{1}{1800}\)
\[\begin{aligned} EF &= \frac{1}{1800} \cdot ES = \frac{540}{1800} = 0{,}3; \\ DF &= \frac{1}{1800^{2}} \cdot DS = \frac{378}{1800^{2}} = \frac{7}{60\,000}. \end{aligned}\]
\(\sqrt{DF} = \sqrt{\frac{7}{60\,000}} \approx 0{,}0108\) — стандартное отклонение частоты.
В ответе учебника — 540 и \(\approx 19{,}44\): это математическое ожидание и стандартное отклонение числа ответов «да» среди 1800 опрошенных, а не частоты этого ответа.
Ответ: математическое ожидание частоты ответа «да» равно \(0{,}3\), стандартное отклонение \(\approx 0{,}0108\).
Известно, что 30 % жителей города считают, что центральный парк нуждается в реконструкции. Для исследования общественного мнения по этому вопросу добровольцы опросили на улицах 1800 случайных горожан. Найдите математическое ожидание и стандартное отклонение частоты ответа «да» на вопрос «Нужна ли реконструкция в центральном парке?».
Будем считать, что опрошенные отвечают независимо друг от друга. Тогда опрос 1800 горожан — серия из \(n = 1800\) испытаний Бернулли: успех — ответ «да», его вероятность \(p = 0{,}3\), вероятность неудачи \(q = 0{,}7\). Число ответов «да» \(S\) имеет математическое ожидание и дисперсию
\[\begin{aligned} ES &= np = 1800 \cdot 0{,}3 = 540; \\ DS &= npq = 1800 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}7 = 378. \end{aligned}\]
Обозначим частоту ответа «да» буквой \(F\): \(F = \frac{S}{1800}\). По свойствам \(E(bX) = b \cdot EX\) и \(D(bX) = b^{2}DX\) при \(b = \frac{1}{1800}\)
\[\begin{aligned} EF &= \frac{1}{1800} \cdot ES = \frac{540}{1800} = 0{,}3; \\ DF &= \frac{1}{1800^{2}} \cdot DS = \frac{378}{1800^{2}} = \frac{7}{60\,000}. \end{aligned}\]
Стандартное отклонение частоты равно \(\sqrt{DF} = \sqrt{\frac{7}{60\,000}} \approx 0{,}0108\).
В ответе учебника — 540 и \(\approx 19{,}44\): это математическое ожидание и стандартное отклонение числа ответов «да» среди 1800 опрошенных, а не частоты этого ответа.
Ответ: математическое ожидание частоты ответа «да» равно \(0{,}3\), стандартное отклонение \(\approx 0{,}0108\).
