Страница 128 номер 364, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Проводится одно испытание Бернулли с вероятностью успеха \(p = 0{,}5\). Случайная величина \(S\) равна числу успехов в этом испытании. а) Составьте таблицу распределения случайной величины \(S\). б) Найдите дисперсию и стандартное отклонение случайной величины \(S\).
а) Число успехов \(S\) равно 1 при успехе и 0 при неудаче.
\(q = 1 - p = 1 - 0{,}5 = 0{,}5\) — вероятность неудачи.
\[\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Значение } S & 0 & 1 \\ \hline \text{Вероятность} & 0{,}5 & 0{,}5 \\ \hline \end{array}\]
б) \(ES = 0 \cdot 0{,}5 + 1 \cdot 0{,}5 = 0{,}5\).
\[DS = (0 - 0{,}5)^{2} \cdot 0{,}5 + (1 - 0{,}5)^{2} \cdot 0{,}5 = 0{,}125 + 0{,}125 = 0{,}25.\]
\(\sqrt{DS} = \sqrt{0{,}25} = 0{,}5\) — стандартное отклонение.
Ответ: а) \(S\) принимает значения 0 и 1 с вероятностями \(0{,}5\) и \(0{,}5\); б) \(DS = 0{,}25\), стандартное отклонение \(\sqrt{DS} = 0{,}5\).
Проводится одно испытание Бернулли с вероятностью успеха \(p = 0{,}5\). Случайная величина \(S\) равна числу успехов в этом испытании. а) Составьте таблицу распределения случайной величины \(S\). б) Найдите дисперсию и стандартное отклонение случайной величины \(S\).
а) В одном испытании число успехов \(S\) равно 1, если наступил успех, и 0, если наступила неудача. Вероятность неудачи \(q = 1 - p = 1 - 0{,}5 = 0{,}5\). Таблица распределения величины \(S\):
\[\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Значение } S & 0 & 1 \\ \hline \text{Вероятность} & 0{,}5 & 0{,}5 \\ \hline \end{array}\]
б) Математическое ожидание \(ES = 0 \cdot 0{,}5 + 1 \cdot 0{,}5 = 0{,}5\). Дисперсия — математическое ожидание квадрата отклонения \(S - ES\):
\[DS = (0 - 0{,}5)^{2} \cdot 0{,}5 + (1 - 0{,}5)^{2} \cdot 0{,}5 = 0{,}125 + 0{,}125 = 0{,}25.\]
Стандартное отклонение — арифметический квадратный корень из дисперсии: \(\sqrt{DS} = \sqrt{0{,}25} = 0{,}5\).
Ответ: а) \(S\) принимает значения 0 и 1 с вероятностями \(0{,}5\) и \(0{,}5\); б) \(DS = 0{,}25\), стандартное отклонение \(\sqrt{DS} = 0{,}5\).
