Вопросы после параграфа §96 на странице 143, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Высоцкого часть 2
Опыт, в котором может наступить событие \(A\), повторяют много раз в одинаковых условиях и независимо друг от друга. Если в \(n\) опытах событие \(A\) наступило \(S\) раз, его частоту \(F = \frac{S}{n}\) принимают за приближённое значение неизвестной вероятности \(p\) этого события: \(p \approx F\). Оценка близка к истинной вероятности, если опытов много: чем больше опытов, тем меньше колебания частоты и тем вероятнее, что она близка к вероятности.
Ответ: проводят серию одинаковых независимых опытов и принимают частоту события за его вероятность: \(p \approx F\); оценка близка к вероятности, если опытов много.
Если \(F = \frac{S}{n}\) — частота успеха в серии из \(n\) испытаний Бернулли с вероятностью успеха \(p\) и вероятностью неудачи \(q = 1 - p\) в одном испытании (\(S\) — число успехов), то математическое ожидание частоты равно вероятности успеха, а дисперсия частоты равна \(\frac{pq}{n}\):
\[\begin{aligned} EF &= p; \\ DF &= \frac{pq}{n}. \end{aligned}\]
Ответ: \(EF = p\), \(DF = \frac{pq}{n}\), где \(F\) — частота успеха в серии из \(n\) испытаний Бернулли с вероятностью успеха \(p\), \(q = 1 - p\).
Учитывают допустимую погрешность измерения — насколько частота \(F\) может отличаться от вероятности \(p\), — и вероятность того, что эта погрешность не будет превышена: например, можно потребовать, чтобы неравенство \(|F - p| < 0{,}05\) выполнялось с вероятностью не меньше \(0{,}95\). Чем меньше допустимая погрешность и чем выше желаемая вероятность, тем больше опытов требуется.
Ответ: допустимую погрешность измерения и вероятность того, что эта погрешность не будет превышена.
Опыт, в котором может наступить событие \(A\), повторяют много раз в одинаковых условиях и независимо друг от друга. Если в \(n\) опытах событие \(A\) наступило \(S\) раз, то находят его частоту \(F = \frac{S}{n}\) и принимают её за приближённое значение неизвестной вероятности \(p\) этого события: \(p \approx F\). Оценка близка к истинной вероятности, если опытов много: чем больше опытов, тем меньше колебания частоты и тем вероятнее, что она близка к вероятности. Например, Пирсон бросил монету \(24\,000\) раз, орёл выпал \(12\,012\) раз, и частота орла \(\frac{12\,012}{24\,000} = 0{,}5005\) оказалась очень близка к вероятности \(0{,}5\).
Ответ: проводят серию одинаковых независимых опытов и принимают частоту события за его вероятность: \(p \approx F\); оценка близка к вероятности, если опытов много.
Пусть проводится серия из \(n\) испытаний Бернулли с вероятностью успеха \(p\) и вероятностью неудачи \(q = 1 - p\) в одном испытании, а \(F = \frac{S}{n}\) — частота успеха в этой серии (\(S\) — число успехов). Тогда математическое ожидание частоты равно вероятности успеха, а дисперсия частоты равна \(\frac{pq}{n}\):
\[\begin{aligned} EF &= p; \\ DF &= \frac{pq}{n}. \end{aligned}\]
С ростом \(n\) математическое ожидание частоты не меняется, а дисперсия уменьшается, поэтому при большом числе испытаний частота, скорее всего, близка к вероятности. Например, для частоты орла при 100 бросаниях симметричной монеты \(EF = 0{,}5\) и \(DF = \frac{0{,}5 \cdot 0{,}5}{100} = 0{,}0025\).
Ответ: \(EF = p\), \(DF = \frac{pq}{n}\), где \(F\) — частота успеха в серии из \(n\) испытаний Бернулли с вероятностью успеха \(p\), \(q = 1 - p\).
Нужно учитывать две величины: допустимую погрешность измерения, то есть насколько частота \(F\) может отличаться от вероятности \(p\), и вероятность того, что эта погрешность не будет превышена. Например, можно потребовать, чтобы неравенство \(|F - p| < 0{,}05\) выполнялось с вероятностью не меньше \(0{,}95\). Чем меньше допустимая погрешность и чем выше желаемая вероятность, тем больше опытов требуется.
Ответ: допустимую погрешность измерения и вероятность того, что эта погрешность не будет превышена.
