Страница 137 номер 391, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень

Будем считать, что выстрелы не зависят друг от друга. Тогда выстрелы — серия испытаний Бернулли: успех — попадание, \(p = 0{,}3\), \(q = 0{,}7\). Пусть \(S\) — число попаданий при \(n\) выстрелах, тогда частота попаданий \(F = \frac{S}{n}\). По свойствам \(E(bX) = b \cdot EX\) и \(D(bX) = b^{2}DX\) при \(b = \frac{1}{n}\) получаем \(EF = \frac{1}{n} \cdot ES\) и \(DF = \frac{1}{n^{2}} \cdot DS\).

а) При \(n = 10\):

\[\begin{aligned} ES &= np = 10 \cdot 0{,}3 = 3; \\ DS &= npq = 10 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}7 = 2{,}1; \\ EF &= \frac{1}{10} \cdot 3 = 0{,}3; \\ DF &= \frac{1}{10^{2}} \cdot 2{,}1 = 0{,}021. \end{aligned}\]

Стандартное отклонение частоты равно \(\sqrt{0{,}021} \approx 0{,}145\).

б) При \(n = 1000\):

\[\begin{aligned} ES &= np = 1000 \cdot 0{,}3 = 300; \\ DS &= npq = 1000 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}7 = 210; \\ EF &= \frac{1}{1000} \cdot 300 = 0{,}3; \\ DF &= \frac{1}{1000^{2}} \cdot 210 = 0{,}00021. \end{aligned}\]

Стандартное отклонение частоты равно \(\sqrt{0{,}00021} \approx 0{,}0145\).

Отношение стандартных отклонений частоты в первой и во второй сериях равно

\[\frac{\sqrt{0{,}021}}{\sqrt{0{,}00021}} = \sqrt{\frac{0{,}021}{0{,}00021}} = \sqrt{100} = 10.\]

Значит, во второй серии стандартное отклонение частоты в 10 раз меньше, чем в первой.

В ответе учебника — \(2{,}1\) и \(\approx 1{,}449\) для 10 выстрелов, 210 и \(\approx 0{,}145\) для 1000 выстрелов: \(2{,}1\) и 210 — это дисперсии числа попаданий, \(1{,}449\) — стандартное отклонение числа попаданий при 10 выстрелах, а \(0{,}145\) — стандартное отклонение частоты попаданий тоже при 10 выстрелах.

Ответ: а) математическое ожидание частоты \(0{,}3\), стандартное отклонение \(\approx 0{,}145\); б) математическое ожидание частоты \(0{,}3\), стандартное отклонение \(\approx 0{,}0145\); во второй серии стандартное отклонение меньше в 10 раз.